Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы видим, что величины y, Ti получатся путем проектирования на направления векторов v и k кривизны кривой С в точке V, отложенной в направлении вектора п, так что, полагая
-— А
Jin = ф и, следовательно, V» = Ф -J- те/2» получим
Y = — с Sfn^, Y1 — с cos 4. (95)
Далее, из анализа известно, что у есть геодезическая кривизна такой сферической кривой, a Yi на основании формулы Менье можно истолковать как кривизну сечения сферы с плоскостью kt. Так как это сечение представляет собой большой круг, то необходимо
Ti = — 1:
достаточно вспомнить, что центр кривизны кривой С лежит по отношению к касательной плоскости к сфере с той же самой стороны
-от центра сферы, так что угол kn = не может уже быть острым, чтобы заключить, что
Y1 = CCos^ = — 1.
§ 8. СТЕРЕОНОДАЛЬНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
155
Поэтому на основании первого из уравнений (95) будем иметь
T = tg <Ь, (96)
и уравнение (93) можно будет написать в виде
^ = — ft. (93')
Следует добавить (хотя это и не является необходимым для дальнейшего) следующие замечания.
Разлагая единичный вектор бинормали Ь по направлениям компланарных с ним векторов V и ft и принимая во внимание, что
<—•« А
чЬ = -f- it, kb = ^-1- тг/2, найдем
b = — cos ф • V — sin 4 • ft;
поэтому, дифференцируя ПО 5 и принимая во внимание определений вектора t и (94), (96), мы придем к уравнению
g = (sin — COS Щ g = - п ^,
которое при сравнении с третьей формулой Френе (т. 1, гл. I, п. 80) дает
di>
Х~ ds’
где через z, как обычно, обозначено кручение сферической кривой.
SI. Натуральные уравнения. Возвратимся теперь к твердому телу 5 гироскопической структуры относительно одной из его точек О, принимаемой за неподвижную (или совпадающую с центром тяжести). Мы используем при этом еще раз то положение (ср. п. 5), что для полного исследования любого движения тела 5 (около точки О) достаточно определить закон, по которому изменяются с временем, с одной стороны, направление гироскопической оси относительно точки О и, с другой, — гироскопическая угловая скорость г.
Изменение положения гироскопической оси относительно О будет определено, если будет указана кривая С, описываемая вершиной V гироскопа на сфере с центром в О и радиусом, равным 1 (п. 49).
Применим теперь непосредственно к траектории вершины замечания и формулы упомянутого пункта, так что, в частности, ft будет -обозначать, как обычно, единичный вектор гироскопической оси, направленный от О к G.
Умножая на скорость s точки V обе части второго из уравнений (91) и уравнение (94), получим
dk ¦ rfv
156
ГЛ. VIII. ДВИЖЕНИЕ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Легко найти соотношение между скоростью s вершины и экваториальной составляющей е угловой скорости о». Действительно, обозначая, как обычно, через г гироскопическую угловую скорость и через аир составляющие вектора о» по ориентированным (экваториальным) взаимно перпендикулярным направлениям < и v, будем иметь
о» = at-\- -j- rk;
достаточно умножить векторно обе части этого равенства на ft и принять во внимание формулу Пуассона
dk і . .
и первое из равенств (97), чтобы получить тождество
St = fit--«XV,
из которого следует
P = S, а = 0.
Поэтому для угловой скорости мы имеем выражение
О) = SV + rk, (98)
где вместе с осевой составляющей rk выявлена и экваториальная составляющая e = sv.
Отсюда для момента К количеств движения (гл. IV, п. 17) получится формула
К = /Isv -f- Crk,
из которой, дифференцируя по времени (по отношению к осям Obir-) и пользуясь уравнениями (97), получим
= (— A-(s -(- Cr) st-j— ^4sv -(- c'rk.
Рассмотрим теперь три оси х', у', г с началом в О, имеющие ориентированные направления трех единичных векторов: t (касательной к траектории вершины в направлении возрастающих s), v (перпендикуляра к t и к оси гироскопа 00, направленного влево для наблюдателя, который, расположен по OQ и смотрит в направлении t), k (гироскопической оси OG). Проектируя на них уравнение моментов количеств движения относительно точки О, мы получим скалярные уравнения
,.-AV+ Cr) S = Mt, )
As = M.,,]
Cr = Mz, (100)
8. СТЕРЕОНОДАЛЬНЫЕ И НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
157
которые обычно называют натуральными уравнениями движения гироскопа *).
Заметим, что введенная здесь система осей Ox'y'z совпадает с той, которая была указана в п. 46; в этой системе ось z совпадает с гироскопической осью и поэтому неподвижна в теле, тогда как две другие оси, оставаясь взаимно перпендикулярными, движутся в экваториальной плоскости по закону, однозначно определяемому движением гироскопа.
52. В качестве первого и непосредственного следствия из натуральных уравнений мы можем доказать, что если к гироскопу, нахо-дящемуся в быстром вращении вокруг своей оси, приложить какую-нибудь силу F в какой-нибудь точке А этой оси, то достаточно, чтобы движение вершины было строго равномерным, для того чтобы смещение точки V происходило в направлении, перпендикулярном к активной силе F. Мы уже знаем (п. 4), что, по крайней мере приближенно, такое свойство существует для всякого гироскопа, находящегося в быстром вращении вокруг собственной оси.
