Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
*) Peres, Choc en tenant compte du frottement. Choc de deux solides avec frottement, Nouv. Ann. de math., сер. 5-я, т. И, стр. 98—108, 216—231.
32*
500
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
особый интерес. Случаев, когда входят связи этого последнего типа, мы коснемся слегка в конце этого параграфа .(п. 13).
Как уже говорилось в п. 1, даже и в те очень короткие промежутки времени г, когда на систему действуют мгновенные силы, остаются в силе основные постулаты динамики и, следовательно, остается в силе также и общее уравнение движения, которое все их объединяет (гл. V, п. 20), т. е. уравнение
2 (Fi-^ai)XSPi = 0, (47)
«=і
где, конечно, в результирующую силу Fi, прямо приложенную к любой точке Pi, должны быть включены в любой момент также и возможные активные ударные силы или удары.
Обращаясь как раз к промежутку времени от t0 до tQ т, когда действуют такие удары, введем N результирующих активных импульсов
«О+ T
Zi = Iim fFtdt (/= 1, 2, .. .,Л/),
т->0 J Tq
и проинтегрируем уравнение (47) по времени от t0 до t0 -f- т, допуская, что в этот очень короткий промежуток времени виртуальные перемещения 8Pi можно рассматривать как не зависящие от времени. Если после этого интегрирования заставим т стремиться к нулю и заметим, что
<0 + *
Iim Г atdt [i = 1, 2, ..., N)
т О -
t о
дает обычное изменение Avi скорости любой точки Pi, то придем к уравнению
2 (Л —/«,to,)-8/^ = 0, (48)
і = 1
представляющему собой общее уравнение импульсивного движения.
Это уравнение справедливо для системы бесконечно малых перемещений SPi, совместимых CO связями при явно выраженном в предыдущем интегрировании предположении, что за очень короткий промежуток времени, в течение которого действуют мгновенные силы, связи остаются (приблизительно) неизменными.
Обратим внимание на то, что это не исключает возможности резких изменений связей одновременно с действием импульсов. Мы допустим только, что в согласии с предположением о неизменности связей в течение очень короткого промежутка времени г, когда действуют удары, во всех случаях каждое из возможных резких изменений связей можно рассматривать как происходящее или непосредственно
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЯ
501
до или непосредственно после этого весьма короткого промежутка, в течение которого происходит импульсивное движение.
Так, например, если у свободно падающего тела закрепляются неожиданно одна или две точки, то вводятся связи (закрепление в точке, или вдоль оси), под действием которых, по крайней мере в общем случае, должны возникнуть резкие изменения скоростей, потому что движение тела до удара в общем случае не было таким, которое характерно для твердого тела с неподвижной точкой или осью. В этом случае надо принять, что резкое изменение связей произошло до момента, начиная с которого рассматривается импульсивное движение, и уравнение (48) должно применяться только к тем виртуальным перемещениям, которые совместимы CO связями, вводимыми внезапно, причем нужно иметь в виду, что в этом специальном случае не войдут активные импульсы (Zi = O).
Подобным же образом, если в твердом теле происходит взрыв, который можно схематически представить системой импульсов внутренней природы, то наступает внезапное резкое уничтожение связи, так как после взрыва вместо 6 получится 6N степеней свободы, если N есть число осколков; виртуальные перемещения, которые нужно ввести в уравнение (48), должны соответствовать связям системы после их внезапного резкого изменения.
Наоборот, в явлениях столкновений, которыми мы занимались в двух предыдущих пунктах, условие соприкосновения между двумя твердыми телами или между твердым телом и стенкой перестает выполняться, когда удар уже произошел, так что имеется внезапное резкое уничтожение связи, следующее за явлением удара.
Если связи, которые должны быть приняты во внимание при изучении импульсивного движения и, следовательно, при использовании уравнения (48), сохраняются неизменными при движении, происходящем после удара, в течение некоторого промежутка времени, хотя и короткого, HO конечного, следующего за моментом ^)4“Х> то они называются устойчивыми. Так, обращаясь к примерам, взятым выше, мы должны считать устойчивой связь, возникающую при внезапном закреплении точки или оси падающего твердого тела, в то время как условие соприкосновения между двумя телами при столкновении не является устойчивой связью.
В дальнейшем (п. 29) мы увидим, как, по крайней мере в случае голономных систем, общее уравнение (48) приводит к однозначному определению движения системы после удара, если известны движение до удара и система прямо приложенных импульсов Ii. Ho сначала мы получим из уравнения (48) некоторые следствия общего характера, а для этой цели мы должны прежде всего уточнить, с формальной точки зрения, условия, определяющие виртуальные перемещения SPi.
Вспомним (т. I, гл. XV, п. 7), что, как это уже отмечалось и в п. 3 предыдущей главы, при изложении принципа наименьшего принуждения Гаусса, двустороннее свящ, голономные или неголономные,
