Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
18. Удар о стенку. Как и в случае центрального и прямого удара (п. 5), общую задачу об ударе какого-нибудь тела S1 о неподвижную стенку можно рассматривать как предельный случай задачи, разобранной в предыдущем пункте, если предположить, что тело S3 имеет очень большую массу т.г (в пределе — бесконечно большую), находится в покое и закреплено неподвижно (V2 = (O2 = 0). Тогда будут справедливы уравнения (29'), (30') при j = I и сохранят свое значение также и уравнения (32), (34), если рассматривать w как составляющую по H1 абсолютной скорости точки P1.
Из уравнения (32) следует, что тело отталкивается от препятствия, а из уравнения (34) можно определить значение /, которое необходимо подставить в уравнения (29'), (30') с индексом 1, чтобы получить окончательные формулы.
Если мы ограничимся рассмотрением центрального удара, который только и является возможным, когда речь идет об ударе шара
о стенку, то, как и в аналогичном случае удара двух тел, найдем, что касательная составляющая скорости центра тяжести останется неизменной, а нормальная составляющая в силу закона Ньютона изменит свое направление на противоположное и уменьшится по величине в отношении е: 1. Поэтому отношение касательной составляющей к нормальной, т. е. тангенс угла между скоростью и нормалью к стенке в точке Р, изменится в обратном отношении 1 : е. Таким образом, мы видим, что для не вполне упругого тела при центральном ударе о стенку угол отражения будет больше угла падения, между тем как в идеальном случае совершенно упругих тел (е = 1) мы будем иметь равенство этих углов.
488
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
19. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел. Возьмем снова разрешающие формулы общей задачи об ударе двух тел S1, S2 (п. 17) для вычисления, как и в элементарном случае (п. 6), изменения полной живой силы, которое происходит при ударе.
Для каждого тела живая сила определяется (гл. IV, п. 5) из равенства
Ti = I rn/j+S Kj iOj (7 = 1,2),
поэтому, принимая во внимание, что Kj • ft»j == Ajp1j + BjQ/ -J- Cf), и применяя тождества
b{v.\xf^(v+x + v7-xx)bvj\x,
Api = Ipf+pj) Apj и другие аналогичные, получим
ATj = Y Ttij Avj • (vf+ VJ) +Y AKj • (ft)+ + ft)"), или на основании уравнений (29), (30), (31)
-ATj=-J- Inj • (vf + vj) —~ I [GjPj X rtj\ ¦ (w+ + ш-) =
= -? Д^+у)-
Отсюда, суммируя по индексу j, вводя относительную нормальную скорость w и принимая во внимание равенство (32), для потери полной живой силы T= T1 +T2 мы получим выражение
— AT— —~ \ (I — е) Iw~>
которое, если подставить вместо I его значение, определяемое формулой (34), принимает окончательный вид:
-AT= ±i=l2(w-)2. (35)
Таким образом, мы видим, что для несовершенно упругих тел мы имеем действительную потерю живой силы, которая будет тем меньше, чем больше тела приближаются к идеальному случаю совершенно упругих тел, когда мы имели бы сохранение кинетической энергии.
В случае центрального и прямого удара, поскольку в силу первого условия оба векторных произведения GjPj X nJ обращаются в нуль, а в силу второго относительная нормальная скорость по абсолютной величине равна | V1 — г>21. постоянная &2 принимает значение
1 ,_1____ W1-f /T2
Tn1 ‘ т2 Ot1W2 ’
§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УДАРА БЕЗ ТРЕНИЯ
489
и уравнение (35) приводится к виду
— ДГ=4- (1— g2) otT-- (vT-чУ2,
в согласии с равенством (15'), найденным прямым путем в п. 6.
20. Колесо, ударяющееся о препятствие. В виде приложения полученных результатов рассмотрим колесо, которое, имея центр тяжести в своем центре и оставаясь в вертикальной плоскости, катится без скольжения по горизонтальной плоскости и неожиданно ударяется некоторой точкой P своей окружности о неподвижное препятствие.
Предположим, что удар происходит без трения и колесо можно рассматривать как , совершенно упругое тело (е = 1).
Представим себе, что положение точки P в момент удара определяется углом а, который радиус OP (фиг. 33) образует с вертикальным радиусом OA, идущим к точке касания колеса с плоскостью. Заметим прежде всего, что в силу допущенного отсутствия трения импульс, испытываемый Фиг. 32.
колесом в точке Р, будет направлен по нормали к его окружности, т. е. по прямой PO. Таким образом, удар будет центральным и потому мы можем принять, что угловая скорость ш колеса не подвергнется при этом никакому изменению.
С другой стороны, так как в движении до удара, которое, по предположению, является чистым качением, мгновенный центр вращения совпадает с точкой соприкосновения А колеса с плоскостью, то-скорость до удара v~ точки P будет перпендикулярна к AP-Скорость же после удара которая на основании правила п. 17 должна иметь касательную составляющую, равную касательной составляющей скорости до удара г»-, и в силу закона Ньютона (при е= 1> нормальную составляющую, прямо противоположную нормальной составляющей скорости v~, необходимо будет представляться вектором, симметричным с ф" относительно касательной в точке P к окружности колеса. Поэтому мгновенный центр вращения в движении после удара, по теореме Шаля (т. I, гл. V, п. 4), попадет на хорду PB, симметричную с PA относительно OP, на расстоянии от Р, равном v+[w = V-jm = АР, т. е. совпадет как раз с концом В хорды PB.
