Курс теоретической механики Том 2 - Леви-Чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Эти Aph теперь легко найти из общего уравнения импульсивного движения (48). Подставляя в него вместо 8P1 их выражения (55), приравнивая нулю коэффициенты при отдельных Sqh и учитывая
510
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
уравнения, определяющие лагранжевы составляющие импульсов (57), мы придем к уравнениям
2 miAvi 'J<fh = Jh (h=l,2, , я);
достаточно применить уравнения (59) последовательно к состоянию движения до и после удара, учитывая неизменяемость q при явлении удара, чтобы в левых частях этих уравнений иметь выражения для Lph.
Поэтому будут иметь место уравнения
Lph = Jfi (й = 1, 2, ... , w),
которые в случае голономных систем дают однозначное решение задачи импульсивного движения, уже упоминавшееся в п. 22 [9].
30. Пример. Обратимся снова к двойному маятнику, который был определен и изучен в п. 11 гл. VII, и, сохраняя введенные там обозначения, приложим в произвольный момент t0 к центру тяжести G1 главного маятника импульс величиной /, лежащий в (вертикальной) плоскости качаний центров тяжести G, G1 и направленный перпендикулярно к O1G1.
Виртуальная работа SL этого импульса определяется выражением /-SG1 и, так как SG1 имеет одно и то же направление (линию действия) с /, то достаточно за положительную сторону на общей линии действия векторов / и SG1 принять ту сторону, которая соответствует возрастанию угла Cp1; поэтому имеем
SL= + Irj Scp1,
где надо взять знак -J- или — в зависимости от того, стремится ли импульс / в тот момент, когда он действует, увеличить или уменьшить угол Cp1.
Отсюда, вспоминая, что на основании уравнения (56') предыдущего параграфа, лагранжевы составляющие импульсов будут не чем иным, как коэффициентами при bqh (в нашем случае при Scp, Sa1) в выражении виртуальной работы, получим
J = 0, Z1==JrZr1,
подразумевая при этом, что составляющие J, J1 относятся соответственно к ср, (C1.
С другой стороны, из выражения (12), найденного в упомянутом п. 11 гл. VII для живой силы T двойного маятника, принимая также
§ 5. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ИМПУЛЬСИВНОГО ДВИЖЕНИЙ
Sll
во внимание равенство (11), в качестве уравнений для определения обобщенных количеств движения получим
P = ~т = Ч- mr Ir? Ч- ^Pi cos (tP — ?i)I> df
дТ •
рj = — = A1Cp1 -j- mk [X'fj-f- /•» cos (ср — Cp1)];
дії
(60)
уравнения импульсивного движения двойного маятника примут после этого вид
Др = 0, Ap1 = =t Ir1.
Подставляя в эти уравнения вместо Ар, Ap1 их линейные относительно Дер, Acp1 выражения, которые выводятся из формул (60), можно получить явные выражения для изменений угловых скоростей двух маятников.
Даже не выполняя этого решения, иа уравнений (60) можно видеть, что Дер имеет значение, не равное нулю, хотя импульс приложен к другому маятнику, что, конечно, зависит от наличия связи между маятниками. Далее из Ap = O следует
Дер _ mrk cos (ер— Cp1)
- — ^
Acp1 А /иг2
так что действие импульса на второй маятник при прочих равных условиях будет максимальным, когда центры тяжести обоих маятников будут расположены на одной прямой.
31. Замечание о случае односторонней связи. Предположим, наконец, что связи, наложенные на систему, за очень короткий промежуток времени т, в течение которого прилагаются ударные силы, будут частично односторонними, или, точнее, связи, по отношению к любому состоянию движения, представляются одни г уравнениями вида
Bk(v) = bk (А= 1,2, ... , г), (49)
другие s неравенствами
(7=1,2,...,5), (61)
где Ui(V), так же, как и Bk(v), символически означают линейные однородные функции от составляющих скоростей Vi, коэффициенты которых, такие как bk, Cj, зависят от координат и, возможно, еще и времени.
Мы уже знаем, что при наличии односторонних связей непрерывное движение определяется уже не общим уравнением динамики, а соответствующим общим соотношением. Поэтому, поступая с этим соотношением так же, как в п. 22 с общим уравнением, и переходя
512
ГЛ. XII. ТЕОРИЯ УДАРА
к пределу при х, стремящемся к нулю, придем к общему соотношению импульсивного движения.
я
S (Ii-TniAvi) -8Яі<0. (62)
і = 1
Задача об импульсивном движении состоит и здесь в определении состояния движения после удара, если известны прямо приложенные импульсы и состояние движения до удара. Ho условия (49), (61), (62) сами по себе не являются еще достаточными для определения скоростей V*. Для этой цели необходимо ввести некоторое дальнейшее условие, которое должно быть получено в любом случае или из физической природы вопроса, или же из некоторого критерия общего характера.
Такой критерий был действительно сформулирован А. Майеромг) после переписки с Е. Стюди (неизданной). Здесь мы дадим о нем краткое понятие.
В случае исключительно двусторонних связей в п. 23 мы видели, что общее уравнение ийпульсивного движения (48), в котором приняты во внимание заранее заданные связи (49), равносильно условию минимума, совместимому со связями, для функции Q Робена. Если обратим внимание на интерпретацию этого свойства как выражающего принцип наименьшего принуждения (п. 24), то естественно ожидать, что тот же самый принцип минимума, совместимый со связями, для функции G справедлив и для задачи импульсивного движения также и в более общем случае, когда система имеет, помимо двусторонних связей (49), еще и односторонние связи (61). He рассматривая вопроса во всей его общности, Майер показал, что в более простых случаях указанный принцип не только влечет за собой общее соотношение (62), но содержат и другие условия, позволяющие однозначно определить состояние движения после удара.
