Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
аналогичный (3.42):
(3.46)
Можно также показать, что если определить эффективную массу
соотношением (3.45), то выражение для связи производной от
средней скорости зонного электрона с полем приобретает вид,
совершенно аналогичный второму закону Ньютона:
<3-4еа>
где Е - среднее (внешнее) поле.
Соотношения (3.44), (3.45) и (3.46) позволяют ввести понятие
эффективной массы и широко использовать его в теории
полупроводников.
Из приведенного выше определения (3.45) непосредственно
вытекает, что эффективная масса совершенно не "обязана" быть
равной массе свободного электрона.
Как мы уже упоминали в гл. 1, это неравенство является
следствием того, что различным уровням в зоне соответствует не
только различная кинетическая энергия, но и потенциальная, и под
действием внешних сил меняются оба вида энергии.
Однако учет этого обстоятельства (т. е., иными словами, учет
периодического потенциала) путем введения эффективной массы
оказывается чрезвычайно плодотворным и чрезвычайно облегчает
рассмотрение очень большого круга вопросов теории
полупроводников. . .. . ,, ......
214
Если в центре зоны расположен не минимум (как в рас-
смотренном выше случае), а максимум, то выражение для энергии
примет вид, аналогичный (3.39):
S? <? Г I д2% ьа г д2% ла "1 /о
2 L Лзс+ а*2 + кг J •
(ЪЛ1>
Для зоны, обладающей шаровой симметрией, оно также
приводится к виду
2 т
(3.48)
если ввести обозначение
(3.49)
dk2
и энергию отсчитывать от верхнего края зоны; выражение для
производной от средней скорости в этом случае имеет вид
<3-50>
т. е., использовав те же обозначения, получим выражение,
аналогичное второму закону Ньютона:
(3-51)
dt т К '
Таким образом, электрон вблизи верхнего края зоны ведет себя
как частица с отрицательной массой, определяемой соотношением
(3.49) (и, как всегда, с отрицательным зарядом).
Можно показать, что в случае почти заполненной зоны
суммарный эстафетный механизм перемещения электронов,
последовательно замещающих пустое место, эквивалентен
перемещению одной частицы с положительным зарядом и
положительной массой по абсолютной величине, определяемой
соотношением (3.49).
Таким образом, вводится понятие "дырка", которая в этом
случае ведет себя во всех отношениях так же, как электрон в почти
пустой зоне.
Проведенные выше рассуждения можно обобщить на
экстремумы, не обладающие шаровой симметрией. Если речь идет
не о кубическом кристалле и мы имеем один минимум в центре
зоны, то можно направить оси таким
215
образом (по главным осям эллипсоида энергии), чтобы выражение
(3.39) по-прежнему было справедливым, но, разумеется, в этом
случае равенство (3.40) уже не будет иметь места. Можно обобщить
метод эффективной массы на этот случай, введя обозначения:
дЩ_ _
dk\ тхх ' dkl тУУ ' dk1 тгг '
Тогда выражение (3.39) принимает вид (полагая Л0 = О)
1 ( Р'х
-) . (3.53)
2 \ ffixx муу
Таким образом, эффективная масса становится тензором. В
общем случае, если экстремум лежит не в центре зоны Бриллюэна, а
в какой-либо другой точке, то таких экстремумов будет столько,
сколько эквивалентных точек, и нет никаких оснований полагать,
что они будут обладать шаровой симметрией. Мы можем, однако,
придать выражению для энергии вид, аналогичный (3.39),
расположив н чало координат в точке экстремума (это нельзя,
однако, сделать одновременно для всех экстремумов). Если он
расположен на одной из осей симметрии более чем второго порядка,
то он должен иметь вид эллипсоида вращения; число таких
эллипсоидов будет равно числу эквивалентных осей. В этих случаях
можно ввести продольную и поперечную эффективные массы, и
если ось z, например, направить по главной оси одного из
эллипсоидов, то выражение для энергии в нем примет вид
+ (3-И)
Следует, однако, заметить, что редко можно направить
оси координат таким образом, чтобы они были глав
ными осями для всех эллипсоидов, и очень часто приходится
поэтому пользоваться выражением для энергии, не приведенным к
главным осям:
Л 2 v-1 ftyftji
" = "" + Т-2~+---. (3.55)
xyz
где тензор 11тху носит название тензора эффективных масс,
компоненты которого определяются соотношениями 1 ,, дЧ
-- - I2-тт-дт- И Т. Д.
2W
4
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В
ПОЛУПРОВОДНИКАХ
4.1. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИСТИКИ
И ТЕРМОДИНАМИКИ
Материал последующих глав не может быть понят без знания
распределения электронов по энергии. Поэтому мы начинаем с
рассмотрения некоторых положений термодинамики и физической
статистики, частично знакомых читателю из общего курса физики.
Рассмотрим какую-либо физическую систему, например
некоторое количество N молекул или ионов газа, заключенных в
объем Р.
Можно себе представить такое состояние системы, когда все
молекулы или ионы будут находиться в небольшой части всего
объема АР. Это, действительно, будет в самый первый момент, если
мы впустим газ в объем через небольшое отверстие в одной из
