Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Точечная подгруппа симметрии бесконечное число раз
размножается трансляционной симметрией; этим обусловлена, как
мы уже упоминали, периодичность волновой функции в обычном
пространстве и энергии как функции от волнового вектора в
обратном ^-пространстве; именно поэтому мы обычно имеем
возможность ограничиться рассмотрением первой зоны Бриллюэна.
При этом следует, однако, учитывать, что если экстремумы
лежат на границах зоны Бриллюэна, то число их уменьшается вдвое,
так как вторая эквивалентная половина экстремума попадает в
следующую зону.
3. До сих пор мы рассматривали простые, невырожденные
зоны; этот случай, однако, редко реализуется на практике. Очень
часто в одной точке k пространства мы имеем несколько
экстремумов, энергия которых в нулевом при
14* 211
ближении одинакова. Эти несколько экстремумов могут иметь
различное происхождение:
- два экстремума могут появляться за счет подзон,
соответствующих противоположным направлениям спина;
- если атомный уровень, из которого образовалась данная
зона, не обладал шаровой симметрией (а шаровой симметрией
обладают только s-состояния), то различной ориентации исходной
атомной функции будут соответствовать различные зоны; таким
образом образуется три р-зоны, пять d-зон и т. д.
Каждая из этих зон еще может расщепиться на две подзоны,
соответствующие различным направлениям спина.
4. Энергия перечисленных выше подзон обычно бывает
одинакова лишь в нулевом приближении. Если учесть возмущения
(периодическое поле решетки и др.), то они обычно расщепляются
- смещаются (по энергиям) друг относительно друга:
- зоны, соответствующие различным направлениям спина,
смещаются относительно друг друга за счет спин орбитального
взаимодействия, т. е. за счет того, что различным направлениям
спина в магнитном поле орбиты соответствует различная энергия;
- зоны, соответствующие различной ориентации орбит,
смещаются за счет различного взаимодействия с кристаллическим
полем решетки и, в частности, за счет различного взаимодействия с
ближайшими соседями. Поэтому зоны не только смещаются, но
имеют различную ширину. Так, например, p-функции атомов
углерода, направленные к соседним идентичным атомам углерода в
органических молекулах, образуют прочные так называемые а-
связи, соответствующая зона лежит более низко и относительно
широка, так как перекрытие волновых функций в этом случае
велико, соответственно должна быть мала эффективная масса
носителей.
Напротив, если p-функции расположены перпендикулярно
линии, соединяющей атомы (я-связь), перекрытие волновых
функций меньше, связь слабее, соответствующая зона должна быть
уже и расположена выше. В различных кристаллах смещение и
ширина зон, соответствующих различной ориентации орбит, может
колебаться в весьма широких пределах.
5. В ряде случаев симметрия валентных орбит атомов, из
которых построен кристалл, не соответствует симметрии
212
расположения ближайших соседей, и поэтому такие состояния не
являются энергетически наиболее выгодными. В этом случае
образуются гибридные состояния. Так, например, в алмазе и
подобных решетках образуются sp-гибриды, волновые функции в
этом случае обладают симметрией тетраэдра и образуют прочные
ковалентные связи с соседними атомами.
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
Как мы уже упоминали, экстремум, находящийся в центре зоны
Бриллюэна кубического кристалла, должен обладать шаровой
симметрией. Предположим, что это минимум, и разложим энергию
вблизи него по степеням k:
<g <е , 1 / дЧ ,2 . дЩ , 2 , дЧ , 2's ,о о0ч
k"+Tk[Ч • <3-39)
В рассматриваемом нами случае кубического кристалла
дЧ_ _ дЧ_ _ дЧ_ _ дЧ_ ,о 4т
dk\ ~ dkl ~ dkl ~ dk2 '
>
Л у Z
Если учесть это и, кроме этого, отсчитывать энергию
от нижнего края зоны, то выражение (3.39) примет вид
<3-41>
Для свободного электрона связь энергии и импульса имеет вид
(3-42)
2 /п0 v
'
или, если учесть соотношение де Бройля (p - hk), то (3.42) можно
переписать в виде, аналогичном (3.41):
*=т?**- <3-43>
Для свободного электрона в отсутствие внешних сил
(электрического поля) импульс и энергия являются интегралами
движения. Совсем по-иному обстоит дело для электрона,
находящегося в периодическом поле кристалла. В этом случае и
скорость, и импульс электрона меняются от точки к точке в весьма
широких пределах, однако если учесть периодический характер
потенциала, то непосредственно из закона сохранения энергии
вытекает, что сред
213
ние значения этих величин также сохраняют в отсутствие внешних
полей постоянные значения.
Учитывая это, можно и для зонного электрона ввести по
аналогии со свободным электроном понятие квазиимпульса,
определив его соотношением
р = /гк. (3.44)
Для того чтобы сделать выражение (3.41) подобным (3.42), можно
также ввести понятие эффективной массы, определив ее
соотношением
Л2 дЧ № ....
т ~ д№ ИЛИ т~ дЧ1д№ ' (3.45)
При этом выражение (3.41) приобретает вид, совершенно
