Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
пополам; уравнение Шредингера решается для одного
многогранника (ячейки), который заменяется сфе-
рой того же объема; полагая U - и накладывая гра
ничное условие, чтобы волновая функция и ее производная
менялись непрерывно при переходе из одной ячейки в другую,
решается уравнение Шредингера для этой ячейки.
Метод ПГ1В - присоединенных плоских волн. Как видно из
рис. 3.3, потенциал очень слабо меняется в промежутке между
атомами, поэтому здесь можно достаточно точно описать волновую
функцию плоской волной, а внутри сферы, окружающей ядро,-
атомной волновой функцией и затем "сшить" на границе, т. е.
наложить условие непрерывности на функцию и ее первую
производную.
Существуют и другие приближенные методы, дающие, как и два
предыдущих, достаточно точные результаты. При этом качественно
результат для электронов в кристалле получается всегда один и тот
же, энергетический спектр электрона состоит из чередующихся
полос разрешенных и запрещенных значений энергии. На верхней и
нижней границе каждой разрешенной полосы скорость электрона
обращается в нуль, а в промежутке достигает максимума; более
подробно поведение электрона в кристалле мы рассмотрим в
следующем параграфе.
3.5. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СТРУКТУРЫ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН ПОЛУПРОВОДНИКОВ
ВИДЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
Выше уже кратко упоминалось, что непосредственно из
трансляционной симметрии кристалла вытекает ряд важных
выводов относительно вида волновых функций и энергетического
спектра электрона в кристалле. Остановимся на этом вопросе
подробнее.
Энергетический спектр электрона в периодическом поле состоит
из серии п квазинепрерывных полос (зон), разделенных
запрещенными промежутками.
14-1053
209
Волновые функции зонных электронов представляют собой
модулированные плоские волны
г|з к == (г) e2llikr,
(3.36)
где амплитуда модуляции зависит от вида периодического
потенциала, номера зоны (п) и величины волнового вектора к и
является периодической функцией координат:
где at, а2, а3 -базисные векторы и пи п2, п3 - любые целые числа.
Из (3.37) непосредственно следует, что амплитуда и (г) для
любого направления периодична с периодом решетки или с
периодом, меньшим периода решетки в целое число раз.
Из периодичности амплитуды (г) как функции от г в прямом
пространстве непосредственно вытекает еще более важный вывод
относительно периодичности энергии электрона для каждой (п-й)
зоны в обратном пространстве, а именно: энергия должна быть
периодической функцией от к с периодом, равным периоду обратной
решетки (или меньшим его в целое число раз).
Прямая решетка не только обладает трансляционной
симметрией, но и принадлежит к какой-либо из точечных групп
симметрии. Для того чтобы состояние электрона было устойчивым,
волновая функция должна быть симметричной или
антисимметричной по отношению к определенным
преобразованиям симметрии**.
Обратная решетка также обладает соответствующими
элементами симметрии и из этого непосредственно следует, что
энергия электрона должна быть симметричной относительно
соответствующих преобразований (мы пока не будем рассматривать
случай вырожденных зон).
Это значит, что энергия должна иметь одинаковое значение в
эквивалентных точках обратной решетки, а на
*) Симметрия волновых функций может быть ниже, чем атома
или кристалла. Подробнее см. [7].
un(r+gJ = un(r); gn -
любой вектор решетки, т. е.
бп = a'ni ^ а2п2 "I- аз"з,
(3.37)
(3.38)
210
середине отрезка, соединяющего эти точки, должна проходить через
экстремум. Приведенные выше соображения позволяют сделать ряд
выводов о возможных структурах зон любого кристалла.
Напомним, что каждый элемент симметрии (центр, ось,
плоскость) размножает точки пространства, не принадлежащие
этому элементу. Так, например, в элементарной ячейке плоской
обратной квадратной решетки произвольная точка имеет восемь
эквивалентных точек, точка на диагоналях - четыре и т. д. и лишь
центр элементарной ячейки не имеет (в ее пределах) эквивалентных
точек.
Отсюда вытекает ряд важных заключений.
1. В центре элементарной ячейки обратной решетки
обязательно должен быть экстремум (максимум или минимум)
энергии. Однако в полупроводнике зоны обычно либо почти пусты,
либо почти заполненны, и нас поэтому интересуют главным образом
абсолютные максимумы и минимумы. Если этот экстремум не
является абсолютным, то мы можем "не заметить" его, т. е. он не
будет отражаться на электрофизических свойствах полупроводника.
Экстремум, находящийся в центре зоны Бриллюэна кубической
решетки, должен обладать шаровой симметрией; в этом случае
эффективная масса будет скалярной. Если экстремум лежит на
одной из диагоналей, то таких экстремумов должно быть в плоской
квадратной решетке 4, а в объемной кубической - 8. Если
экстремум в объемной кубической ячейке лежит на направлении
(110), то таких экстремумов должно быть 6, и т. д.
