Физика полупроводников - Лазарь С.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ev (rtjUj + п2и2) = (ufa + ufa) Ех. (7.42)
В правой и левой части выражения (7.42) могут
играть основную роль различные группы электронов: "магнитный
ток" [т. е. правая часть (7.42)] создается электронами, подвижность
которых больше, а компенсируется теми, концентрация которых
больше. Учитывая, что
Ех=-т ljt (7.43)
е ("!"! + п2и2) ' '
из (7.42) получаем
Еу = -М- я1"?±.я.аи| _ (7.44)*>
у ес {п^ + п2и^ v '
При Ui^=u2 выражение (7.44) совпадает с полученным без
учета дисперсии:
Еу = jxH-.-)-г- . (7.45)
у lx e(ni + n2)c к '
Чем больше различие подвижностей, тем сильнее (7.44)
отличается от (7.45). При наличии двух групп носителей с сильно
различающейся массой это различие (даже при полном
вырождении) может быть очень велико. Если же считать, что
массы всех носителей одинаковы, то в (7.44) отношение
подвижностей можно заменить отношением времен релаксации:
Еу = -hlL (7.46)
" епс (т)2 ' '
где введены обозначения
- 2т| nt
о I *•
2л;
И - 1т п-
'=тнг- <7-47)
Выражение (7.47) без труда обобщается на любое число групп
носителей с различной подвижностью. Его также нетрудно
обобщить на случай непрерывной зависимости времени
релаксации от энергии, заменив суммы интегралами. Мы, однако,
сделаем это более строго, решив
*) Если подвижность одной группы электронов много больше
(например, ut > п2), а концентрации одного порядка, то согласно (7.44)
Еу - }хШеп{с, т. е. эффект Холла будет давать концентрацию электронов,
подвижность которых больше.
343
для этой цели кинетическое уравнение при наличии магнитного
поля.
Как мы уже упоминали, слабое магнитное поле не действует на
равновесную функцию распределения. Качественно это следует из
того, что равновесная функция обладает шаровой симметрией,
магнитная же сила перпендикулярна скорости электрона и в этом
случае не меняет распределение электронов по скоростям.
Количественно это выражается в том, что если мы подставим в
магнитный член кинетического уравнения (5.49а) вместо / вели-
чину /о, то он обратится в нуль:
Иначе обстоит дело при одновременном воздействии
электрического и магнитного полей; как уже много раз
упоминалось, электрическое поле смещает и деформирует функцию
распределения (см. гл. 5).
Магнитное поле поворачивает эту деформированную функцию
на угол
и опять несколько деформирует, так как угол ф зависит от времени
т, различного для электронов с различной энергией. Мы не можем
теперь ограничиться рассмотрением одномерного случая, так как у
функции f\ = f - /0 будут составляющие по оси vx и vv;
простейший вид, в котором мы ее можем искать, следовательно,
будет
Ограничимся рассмотрением изотермических эффектов в
однородных образцах, в этом случае
дрейф магн 0В
с
тс
(7/48)
/1 - Xlvx + y.2vyi
где Xi и %2 - неизвестные функции энергии. В
соответствии с (5.66)
(7.49)
(7.50)
(7.51)
w*=7r{gE + T = ^ [E*+TV"H] '
(7.52)
344
Подставив выражения (7.49), (7.51) и (7.52) в (7.50), заменим,
как мы это делали раньше, во всех членах, не содержащих
магнитного поля, / на /0 и учтем также, что df0ldvx = (df0lde) mvx,
df0ldvv = (df0lde)mvy. После этого выражение (7.52) примет вид
-7 (u*Xi +VyXz) = eE*v* + еЕЛ ~
€ Н , бН J Г~) ГЛ\
X2V. + - № (7-53)
Равенство (7.53) должно быть тождественным, т. е.
удовлетворяться при любых значениях скоростей *>. Для этого
коэффициенты при vx и vy в левой и правой части (7.53) должны
быть одинаковы. Из этого условия находим
Xi - (r)Tfc = - геЕ*^г ' (7-54)
Хг + ютх^ -т еЕуЦ^. (7.55)
Решая совместно (7.54) и (7.55) относительно Xi и Хг> после
несложных преобразований получаем
а/о + /7
Х1=-"аг"-т+^-- (7'56)
а/о Ey-<fEx Х2=-агст-+-ф"-" (7-57)
где ф = сот.
Выражения (7.56) и (7.57) наглядно показывают, что магнитное
поле поворачивает неравновесную добавку к функции
распределения на угол tp и укорачивает ее в (1-)-фа) раз (за счет
сокращения эффективной длины свободного пробега).
Зная Xi и %2> можно получить Д и выражения для плотности
токов jx и jy:
i* = w\eVxfld?' iv^w J evvfid?' (7-58)
где dg- элемент объема в пространстве импульсов, и
интегрирование должно быть проведено по всему пространству.
*) Это следует также из того, что члены, содержащие в виде
множителя vx и vy, перпендикулярны друг другу в пространстве
скоростей.
345
Учитывая это, можно сразу же отбросить все члены,
содержащие vx или vy в первой степени, так как они исчезнут при
интегрировании по соответствующим импульсам в пределах от -
оо до -j-оо; учтем также, что усреднение по углам дает
V% = v\ = у V2. . (7.59)
На основании сделанных выше замечаний получим
lx = W S Vx = Ш J dg,
(7.60)
iv = W J vv(vxXi + vvte)dg = -%5- J v*fcdg (7.60a)
и, подставляя в (7.60) и (7.60a) выражения для %i и %2, получаем
.. ! "¦ f ^
,х 3 h3 ) 1+ш2т2 S
= ~et[LlEx + aL0Ey\, (7.61)
где введены обозначения:
<7-62>
и
т 2 г* т2у2 а/0 , 2 с /з
а/о . /7 дох
