Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 3.11. Выберем произвольный репер. В нем тензору К соответствует матрица /Сор. Ясно, что Ka^ можно представить в виде АаВ?> в том и только в том случае, если все столбцы матрицы попарно пропорциональны.
В тензорных обозначениях к аналогичному выводу приводят следующие рассуждения. Тензор К представим в виде
К = А®В
в том и только в том случае, если вектор W = K-V (т. е. Wa = = имеет одно и то же направление при любом выборе
вектора v.
Доказательство. В некоторой системе отсчета выберем 4 базисных вектора е°, е1, ... так, чтобы e^ ev = 6^v. В силу линейности направление вектора W не зависит от выбора вектора v в том и только в том случае, если оно не зависит от 4 базисных векторов е^. Но тогда
Ke0 = ^0W, K-C1 = I1W.....
или
Kaa = WPa, Kal = K1Wa.....
Таким образом, наш тензорный критерий эквивалентен попарной пропорциональности столбцов.
Решение 3.12. Столбцы (и строки) тензорного произведения двух векторов попарно пропорциональны (см. задачу 3.11). В общем случае тензор второго ранга этим свойством не обладает. Если et (t'=l, 2, ..., п) — базисные векторы (0, 0, ..., 1, ...,0, 0), где 1 стоит на г-м месте, то п1 тензорных произведений е, 0 е/ образуют базис в пространстве тензоров второго ранга, поскольку, какую бы строку и какой бы столбец мы ни выбрали, найдется прямое произведение базисных векторов, у которого на пересечении выбранного столбца и выбранной строки стоит 1, а все остальные компоненты равны 0. Суммируя эти произведения с постоянными коэффициентами, мы получаем любой тензор второго ранга. (Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что любой конкретный тензор представим в виде суммы п тензорных произведений.) ГЛАВА 1
175;
Решение 3.13. Геометрический объект Xtlv не может быть тензором. Ковариантный тензор второго ранга является функционалом от двух ковариантных тензоров, т. е. величина XtivFliWrv для такого тензора была бы скаляром, в то время как для заданного объекта
XiwyllTFv = (А • V) Wv + (В • W) V11
зависит от координат.
Если геометрический объект с двумя индексами в любой системе координат задан соотношением X^v = Av- +By, то при переходе от одной системы координат к другой он преобразуется по закону
Но такой закон невозможно представить в виде
где Т —некоторое преобразование. Это утверждение следует из того, что в любой заданной системе координат А» и Bv, выбранные различными способами, порождают один и тот же геометрический объект Xliv. В частности, Ali+ С, Bv — С в фиксированной системе координат приводят к тому же Xfiv, что и А», Bv, но геометрические объекты Xiirv', порождаемые этими двумя выборами векторов, значительно отличаются.
Решение 3.14. Необходимо лишь преобразовать исходный тензор и проверить получившийся тензор на антисимметрию:
F- = A-A^F = — Aa-A^F = — A^-A-F = — F-
VVct? -iV vrPce H v a? rvn'
Ftiv = rt^a? = - g^g^?a = - g^g^a? = - F».
Для разнообразия мы воспользуемся при рассмотрении симметричного тензора другими соображениями. Построим вспомогательный тензор
S^nv = Snve1Svn1
где Sllv — симметричный тензор. Все компоненты S^v равны нулю (по предположению о симметричности тензора Sliv), а поскольку O^vn- тензор, то они равны нулю во всех системах координат. Следовательно, тензор Sliv симметричен во всех системах координат.
Решение 3.15. В силу симметрий, указанных в условиях задачи,
Av.^ = — А^р», 176
РЕШЕНИЯ
НО fi, V —немые индексы, поэтому, переставив их, мы получим
Л Cav__A CHV__A CHV
цуО--Лун4^--"HVlj •
Следовательно, /IuvStiv = 0.
Любой тензор Vtiv можно представить в виде суммы симметричной части
Vliv а 4 (Viiv + F4i) и антисимметричной части
г 1
Vhv = ~2 (V|tv Fw),
поэтому
F^vAiiv = V^Aiiv + fa* Av* = 1WA114 = Yiyiiv- v^ Aiiv, F^vStiv = FtivSnv + P^Sliv = V^Sliv = i- (Viv + Fvti) Siiv.
Решение 3.16.
а) Если тензор г-го ранга в n-мерном пространстве не обладает никакими симметриями, то число его независимых компонент равно пг.
б) Пусть тензор симметричен по S индексам и лишен симметрии по г —S индексам. Сколькими неэквивалентными способами можно выбрать s индексов из п возможных? Ясно, что это число совпадает с числом способов, которыми можно выбрать s предметов из п с повторениями, т. е. равно
(n+s— l)l/(n— 1)1 s!.
[См., например, Mathews J., Walker R., Mathematical Methods of Physics (W. A. Benjamin, 1965), Sec. 14.3.] Остальные r — s индексов можно выбрать nr~s способами, поэтому число независимых компонент равно
nr~s (w + s — 1)\/(п — 1)! s!
в) Пусть тензор антисимметричен по а индексам и имеет г —а других индексов. Выясним прежде всего, сколькими способами можно выбрать а индексов? Это можно сделать столькими способами, сколькими удастся извлечь а предметов из п без повторений, т. е.
п\/(п — а)\ а\
Следовательно, число независимых компонент в этом случае равно
пГ-ап\1(п — а)\а\
Заметим, что при а = п антисимметричные индексы можно выбрать лишь 1 способом. При а п число возможных способов выбора обращается в 0: все компоненты тензора должны быть нулями! ГЛАВА 1
