Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
177;
Решение 3.17.
а) Vfclv] =Y (Ftlv- Fvn), TtHVj=O,
= Pfiv, T(HV) = Tjlv,
Ftp,) = 0,
F[a?v] = -g- [ Fct?v ~~ + Fpvce — Fpav + FV„P — Fvpal, Tiafi. 7) = -3- [Ta?. v + Tajt P -f- Tpv, aJ, F[a?. 7] = у [Fa?, у + Fya, p + Fpy, a|.
б) Если ^nv... a —полностью антисимметричный тензор, т. е. если
(—1)« Л«Я1... = Aai... ар,
то
^[O1... Яр] = ^j- 2 (—:0я Axjtl... аЯр = ^a1... оу
Но тензор
Aa1... ctp = Ffa1 і.. <хр]
полностью антисимметричен, поэтому
- V= vUaI - «pH = vIaI - «*]•
Утверждение задачи относительно F^al...се)) доказывается аналогично.
В силу симметричности по индексам в круглых скобках
vCh - IaPml-ар) = ^(aI- lamal]-V' а в силу антисимметричности по индексам в квадратных скобках
vCh •••[<№»] - aP) = ~V(al - [amal\ - V •
Следовательно, V = O.
Антисимметричность по двум индексам нетрудно представить в виде
[0Vml-aP = y[4-?m-®р~
поэтому
yIaI ••• [а1ат\ -%] = (_1)Я -?? ~~ У-аЯIaXm-)'
Но
=—v^1 - 178
РЕШЕНИЯ
в силу чего
^[«.•••[«л:I-cM = v[ai-aPm-apV в) По доказанному в п. «а»
Fa?, V + /7Pv, а + F\a, р = v].
Ho
Fa? =—Л [et, ?],
поэтому
Fla?, V] = — ^[[а, н, V].
и по доказанному в п. «б»
Л [[a, p],v] = ^ta,p,v].
А поскольку
¦^а, Р, V = ^а, V, Р>
ТО
Л [а, p,Jv] = 0.
Решение 3.18. Первая часть утверждения задачи доказывается непосредственно:
Xa? = Y (^«? "t" ^?a) "Ь Y — ^?«) = ^(«?) "t" [®М'
Если бы аналогичное соотношение
^o?Y = ^(a?v) + ^[apv] (О
выполнялось для тензора третьего ранга, то
^Vv = ^(?<*Y) + ^[?av] = *V?Y) ~~ ^Wv].
^pva = ^(Vpa) - ^[Y?a] = ^(apv) ^[apv] == ^apy (^)
Поскольку в общем случае тензор Fapv не обладает теми свойствами симметрии, которые следуют из соотношения (2), то разложение (1) неверно.
Решение 3.19. Одно решение сводится к доказательству того, что из Stlv и двух векторов можно построить скаляр. Поскольку /IvBliStlv == А • В, то б — тензор.
Другое решение сводится к проверке трансформационных свойств дельта-символа Кронекера:
дх»' дх? = дх»' дха ^fiIX-дха dxv' ? дха dxv'
(последнее равенство следует из того, что матрицы дх»' Idxa и дх^/дх* — взаимно-обратны). Таким образом, Stlv преобразуется как тензор. ГЛАВА 1
179;
Решение 3.20. Если e„pYe — полностью антисимметричный тензор, то по любой его компоненте (например, по компоненте е012з), переставляя ее индексы, можно восстановить все остальные компоненты с неповторяющимися индексами. Компоненты полностью антисимметричного тензора с повторяющимися индексами равны нулю. Следовательно, тензор eaPv5 однозначно определен, если задана его компонента е0123, а это и означает, что полностью антисимметричный тензор е^а единствен с точностью до умножения на постоянную. При обычной, не зависящей от положения индекса нормировке в координатах Минковского
Є0123 — 81023 " ^ 1032 ==...= 1.
Переходя к другим координатам х^'(ха), получаем
дха дх& дхУ дх*>
Vvva-- дх* ^r-8«?va- detI1W
В новых координатах
_ дха дхР
8^v' ~ W W t^'
det (g?-v) =
det'
det(r)a?),
поэтому и, наконец,
дха'
det (OxaIdxa') = [— det (gyv<)]v'
Vv'Vo' = !— det (gn-v')]'7" Wa-Решение 3.21. В ортонормированном репере
В ненулевых компонентах тензора должен обращаться в нуль ровно один из индексов.а, ?, у, б. Поскольку т)00 = — 1 и то преобразование отличается от тождественного лишь одним знаком минус и
®a?v6= ga?v6
При переходе в другую систему координат это соотношение в силу преобразования, выведенного в решении 3.20 и его очевидного аналога для е0^v6, переходит в соотношение
[- det fenv)]-1'' = -1- det Ы'/. 8«М.
Таким образом, в системе координат с метрикой ^tiv
eaM = det(^v)e^ve. 180
РЕШЕНИЯ
Решение 3.22. Вычислим этот скаляр в локально ортонор-мированной системе отсчета. Из решения 3.21 известно, что
V=-^v-
поэтому
eIxvpcretivp0 = 2 I eHvpCT I2 = —І Є0123 PI
HVpo
где суммирование проводится по всем перестановкам индексов 0123. Поскольку существует всего 4! = 24 такие перестановки, то eJivpOelivpo = —24.
Решение 3.23. В ортонормированном репере (с ?ар = т]ар) должно было бы быть очевидным, что (поскольку е —полностью антисимметричный тензор) операции, производимые в левой части доказываемого тождества, в точности совпадают с операциями, производимыми при вычислении определителя, т. е.
еаМЛ?Л?Л?Л°= detail-
Переход от набора индексов (О, 1, 2, 3) к произвольному набору (p., V, к, а) требует введения в правую часть тождества множителя Єрда,,, чтобы учесть минусы, возникающие при перестановках строк.
Докажем, что это тождество выполняется в любых (а не только в ортонормированной) системах координат. Для этого необходимо доказать, что оно тензорное или что det||^?|| —скаляр:
det I Af I = det
дха'
дха
= detM?!|det|| leidet
IfI= detail
[Последнее преобразование следует из того, что дх^'/дх? и дх?/дх?' — взаимно-обратные матрицы.]
Решение 3.24. Предположим, что au + ?v + vw + бх = 0, причем не все коэффициенты а, ?, 7, б равны нулю. Если а Ф О, то, умножив эту линейную комбинацию (в смысле операции Д) справа на уДшДх, получим иДуДи^Дх = 0. Если а = 0, то то же самое произведение мы найдем из члена с отличным от нуля коэффициентом, умножив всю линейную комбинацию справа и слева на недостающие векторы. Наоборот, если векторы u, v, w, X линейно-независимы, то любой вектор представим в виде их линейной комбинации. В частности, так можно представить ГЛАВА 1
