Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 1.27. Взглянув на небо (луч зрения следует по изотропным линиям, вдоль которых распространяются фотоны), космонавт совершает произвольное преобразование Лоренца, а затем снова смотрит на небо. В результате возникает непрерывное отображение неба на себя, а любое непрерывное отображение 2-сферы на себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку.
Решение 1.28. Из решения 1.25 следует, что любое однородное собственное преобразование Лоренца соответствует комплексной 2x2 матрице L с определителем, равным 1, или комплексному 3-вектору, который мы обозначим, например, Р. Запишем матрицу 2x2 в виде
L(P) = (1 +Р2УЧ +"P- а,
где P2=P-P, а / — единичная матрица, которую мы часто не будем выписывать в явном виде. [В решении 1.25 был использован вектор P = ~q (sh q)/q.] Для чистого буста со скоростью v производимого в направлении п, вектор P вещественный: P = ГЛАВА 1
153;
= п sh (г|>/2), Где ф = th у — быстрота. Длй чистого поворота на угол Ф вокруг оси п вектор P чисто мнимый: P = in sin (0/2) и P2Ss-L
Произведение двух преобразований Лоренца, задаваемых векторами PaQ, имеет вид
P oQ = (1 +P2)'/!Q + (1 + Q2Y'1^ + iP xQ'
Это следует из вида произведения двух матриц, соответствующих данным преобразованиям Лоренца:
L (P) L (Q) = [(1 + P2Y + P¦ Щ [(1 + Q2Y'*+Qo] =
= (1 +Р2)1Ч1 +Q2)1/'+ [(1 + P*Y<'Q+(1 +Q2)l/» Р] ¦ о + + P-3+iPxQ-o.
Схема решения сводится к тому, чтобы сначала найти важную отличительную особенность произведения двух чистых бустов (лемма 1), затем вывести критерий для случая, когда произвольное преобразование Лоренца представимо в виде произведения трех бустов (лемма 2), и, наконец, показать, что этот критерий выполним всегда, за исключением случая «винтового поворота на 180°», разложимого в произведение четырех бустов.
ЛЕММА 1. Преобразование Лоренца, задаваемое вектором Р, представимо в виде произведения двух чистых бустов CuDe том и только в том случае, если скалярный квадрат P2 вектора P веществен и положителен.
Доказательство. Если P — произведение вещественных неизотропных векторов CnD, то
P=C-D = H + C2Y'*D + (1 + D2Y'' С + iCxD; (1)
P2 = (1+C^)D2+ (1+D2)C2+ 2(1+С2)1'Jl+D2Y^-D - C2D2 х
+ (?-?))2=^(1+^)^(1+/)2)'/.+"^/)]2-^ (2)
> [(1 + 2 CD + C2D2Yи + С ¦ D]2 - 1 > (поскольку C2 + D2 > 2 CD)
Ss (1+1 V-U\ + C-D)2 — 1 ^(посколькуCDSs | С• ?Г|)
SsO.
Наоборот, если скалярный квадрат P2 веществен и положителен, то P можно представить в виде P = A + ІВ, где A-B = O_и A2 — B2 >0. Чтобы построить бусты CuD, выберем вектор Е, 154
РЕШЕНИЯ
-ортогональный векторам ~А и В, оставив пока неопределенной величину E2. Положим
С? = aA+T:, D = а~Л-~Ё, (3)
где а — нормировочная постоянная, которую требуется определить. Из (3) следует
C2 = D2^a2A*+ E2,
а из (1) —
2 = (1 + С2)1'» /) + (1+ D2)1''X = (1 + а2А2 + E2Y'' 2а~А я _
B=CxD = 2аЕ X А.
Это построение продолжается до тех пор, пока не будут достигнуты равенства
1 = 2а (1 + a2 A2+E2Yu, (4а)
B2 = Aa2E2A2. (46)
Возводя в квадрат обе части равенства (4а) и разрешая его относительно а2, получаем
а2 = {[(1 + E2)2 + Л2]'/» - (1 + Е2)}/(2А2). (5а)
Соотношение (5а) позволяет преобразовать равенство (46) к виду
B2 = 2E2 {[(1 + E2)2 + A2]''' - (1 +?2)}.
Возводя обе части последнего равенства в квадрат и упрощая, приходим к уравнению
A(A2-B2)Ei-AB2E2-Bi = O, (56)
которое всегда имеет положительный корень E2, поскольку А2> В2. После того как величина E2 найдена, значение параметра а определяется из соотношения (5а). Лемма 1 полностью доказана.
Попытаемся теперь представить любое преобразование Лоренца Q в виде произведения трех бустов. По лемме 1 это возможно в том и только в том случае, если существует буст С, такой, что скалярный квадрат P2 веществен и положителен, где iP = ==0-(—С). Производя преобразования, аналогичные тем, которыми мы воспользовались при выводе соотношения (2), получаем
(1 +pay/, = (1+ Q2)'/. (і -IrC2)1'' - Q • б. (6)
Итак, необходимо найти буст С, такой, чтобы величина (1 +P2)1'1, определяемая соотношением (6), была вещественной (вектор в общем случае комплексный) и (1 +P2)1/j > 1. ГЛАВА 1
155;
Пусть Q= А +іВ {~A и В — вещественные векторы) и пусть., буст D-некоторая линейная комбинация векторов А я В.
ЛЕММА 2. Буст С, обладающий требуемыми свойствами, существует в том и только в том случае, если существует буст D, представимый в виде линейной комбинации векторов AuBu такой, что
d = (l+Qa)v.(l+D2)v»-^.D, (7).
где величина d вещественна и строго положительна.
Доказательство. Пусть ~Р— вектор, ортогональный векторам» AnB', скалярный квадрат его F2 <Z 1 мы определим чуть ниже. Введем новый вектор
C = (D + ?)/(l-/=T4
такой, что 1+С2 = (1 +D2)/(l — F2). Из соотношения (6) находим, (1 + /я)«/. = [(1 + Qiy•/. (і + щуг _ $. о] (1 - F2)-'/. = d (1 - F2) -'/«.
Таким образом, скалярный квадрат F2 можно выбрать достаточно* близким к 1 и тем самым сделать корень (1 -\-Р2Уи вещественным и по абсолютной величине большим 1 в том и только в том случае, если величина d вещественна и положительна. Лемма 2 доказана.
