Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
S = Ле/ + Bex + Cty+Deг.
Скалярное произведение векторов VhS равно
S-V= A(eret) + B(ex-ex) = B-A,
поэтому если вектор S ортогонален вектору V, то A = B. HoS — прс>странственноподобный вектор, в силу чего A2 < ?2-+-C2 + D2 и C2-f Da = O, т. е. C = D = O. Итак,
8 = Л(ел + е/), а это означает, что вектор S кратен вектору V.ГЛАВА 1
171;
Решение 3.4. Рассмотрим плоское пространство Минковского. Тогда X, у, Z — пространственноподобные единичные векторы,! — времени подобный единичный вектор, t±z, t± у —изотропные векторы и т. д. В следующей таблице приведены по порядку примеры пространственноподобной, изотропной и времениподобной суммы.
Пространственно- Изотропный Времениподобный
подобный вектор вектор вектор
Пространствен-ноподобный вектор
Изотропный вектор
Времениподобный вектор
(х+8?)+(—х+и) (х+е?) + (—Je)
(х + *) + (-2х)
(_*) + (*-I) (* — ?) + (*+?)
* + (е?)
Je + t
(гх) + І
(Je -t) + t
/a av а
(je - t) + 2t
(Je + ?) + *
(* +ei ) + (-*)
(f+eJe)+(-*+e?)
A A
t + t
Пространственноподобная сумма Изотропная сумма Времениподобная сумма
Здесь є означает любую малую постоянную, например равную 0,1. Если времениподобные векторы должны быть «направлены в будущее», т. е. если для времениподобных векторов U должно выполняться неравенство u-t<0, то не все комбинации двух векторов оказываются допустимыми. (Мы предоставляем читателю убедиться в этом самостоятельно.)
Решение 3.5. Пусть к —изотропный вектор, в направлении которого распространяется свет. Некий наблюдатель выбирает малый квадратный элемент пучка, стороны которого образуют векторы А и В —чисто пространственноподобные в системе отсчета, связанной с этим наблюдателем, и ортогональные пучку (A k = = В-к = 0). Кроме того, поскольку А и В — стороны квадрата, то A-B = O и площадь элемента равна | А | • | В [.
Другой наблюдатель может безошибочно опознать тот же самый элемент пучка, например, по лучам, образующим углы квадрата, но проводит сечение иначе во времени. В его системе отсчета старые векторы А и В не ортогональны его 4-скорости и, поэтому поперечное сечение пучка не Является чисто простран-ственноподобным. Но при любых постоянных аир векторы
А' = А+ак, B' = B + ?k172
РЕШЕНИЯ
порождают тот же элемент пучка, что и векторы А и В (лишь «конец» каждого вектора сдвигается в другую точку вдоль светового луча от прибавления некоторого кратного волнового вектора к). Новый наблюдатель требует, чтобы выполнялись соотношения А' • и = В' • и = 0. Этим требованиям всегда можно удовлетворить, выбрав а = — А -и/к и и ? = — B-u/k-u (к-u Ф0, поскольку к —изотропный, a и — времени подобный вектор). Заметим, что А' • k = В' • к = А' • В' = 0 (так как k-k = 0), поэтому векторы А' и В', служащие сторонами сечения, проведенного новым наблюдателем, ортогональны. Площадь нового сечения равна
I A' 11 В' I = (А' • А')1/2 (В' • В')1/2 = ІА11 ВI, т. е. совпадает с площадью сечения, проведенного первым наблюдателем.
Решение 3.6. Доказать, что сумма неинвариантна, не-
ц
трудно. Пусть D0x = 1, а все остальные компоненты равны нулю. При бусте в направлении оси х
D0'0' = — ?v, Dx'*' = — ?v,
поэтому
^DW1 = O, но 2 D^'=- 2?v
ц ц'
Неинвариантность суммы ^Dw доказывается аналогично.
H
Под действием преобразования Лоренца как известно, o? = A?<A?'D?, поэтому
IiD^ = Z K'4'Dl = SgDg = 2 Dl
ц' ц' ц
и, следовательно, сумма инвариантна.
и
Решение 3.7. Поскольку Tlotp — постоянный тензор, то
= Fn, (T)vaTioa) = Fviy, ^0 SS = Fliy, ,F^ = - Flla,
Последнее равенство следует из антисимметрии тензора Fa^ (немые индексы переобозначены).
Решение 3.8. Запишем дифференциалы в новых координатах: ds2 = r|a? dxa dx? =
= Ча.$Адх?Ідх») dx» (дх*/дґ>) dxv =
( дхадх$\ ,_vГЛАВА 1
173;
Если линейный элемент записать в виде ds2 = g—dX>idXvi то
__= дха дх&
Поскольку вектор преобразуется по закону
дх?
ТО
U-V = ^lAru =
Решение 3.9. Под действием преобразования координат Xv-->- Xli (xv) метрический тензор gap преобразуется следующим образом:
дхРдхЪ S"nv ~ ^aP дЗ1- dxv'
и, следовательно, его определитель g переходит в і - del te) - det м de. (g) del (? _ , [«
Поскольку gфg, то g — не скаляр.
Решение 3.10. Пусть первой матрице соответствует преобразование координат
Jf = JtVX (Af = dJc>A (1)
а второй — преобразование координат
^ = X1V), (Ц = дха/дх% (2)
Составим произведение матриц
Правая часть равенства (3) весьма похожа на частную производную от сложной функции. Это наводит на мысль рассмотреть преобразование координат
х» (x?) = (*»)], (4)
которому соответствует матрица преобразования174
РЕШЕНИЯ
Она лишь немногим отличается ог произведения матриц (3). Нетрудно понять, что в действительности различия между матрицами (3) и (5) несущественны: при вычислении частных производных от сложной функции по ее аргументам безразлично, как обозначены независимые переменные. Таким образом, преобразованию координат (4) соответствует произведение матриц Ap и