Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
dx'ldt' = — и.138
РЕШЕНИЯ
Поскольку dx' = y(dx — v dt), dt' =y(dt — vdx), то, подставив эти соотношения в dx'/dt' и разрешив получившееся выражение относительно кажущейся скорости в стационарной системе отсчета, получим
— dx/dt = (и — v)/(l — uv).
Наконец, сложим в стационарной системе отсчета время, необходимое тахиону, чтобы дойти «туда» и вернуться «обратно»: tnojra =
= 'туда + Обратно = L/U + L(1 - UV)/(U - V) = L[l/tl + (1 - UV)/(tl - v)].
Нетрудно подсчитать, что t„0JIB < 0 при ы>[1 +(1 — v2)'^]/v.
Чтобы разобраться в последнем результате, полезно воспользоваться фиг. 4.
Решение 1.7. Стержень поворачивается вследствие того, что в направлении оси х длины отрезков сокращаются, а в направлении оси у остаются неизменными. Угол, образуемый стержнем с направлением движения в системе отсчета S, определяется из соотношения ctg G = Ax/Ay. Вследствие движения
Ajc = Ax' (1 — ?2)7*,
в то время как Ay = Ay', в силу чего
Ctgft=(I-P2)Vctgft'.
Решение 1.8. При движении происходит не только сокращение пространственных, но и растяжение временных интервалов. В системе отсчета S скорость пули равна
V = (Ах/At, Ay/At).
Из формул преобразований для Ax и Af находим
vx = Ах/At = (vx- + ?)/(l + ?iv),
а поскольку Ay = Ayt, то
Vy = Ay/At = Ay'(\ -?2)'/./(Af' + ?A*') = iy (1 -?2)l/'/(l + PM-
Таким образом, направление движения определяется соотношением
tgft = vuivx = iy (1 - ?2)V/(tV + ?) = tg ft' (1 - ?2)v/(l +?/iv).
Изменение направления движения при переходе от системы отсчета S к системе отсчета S' совпадает с точностью до множителя (1 — ?2)'/. с результатом, который мы получили бы, если бы воспользовались преобразованиями Галилея, и соответствует «стягиванию» движения к оси X. Для фотона i? + oJ = 1, Ujc = cos ft, поэтому
cos« - 1+?Qpso,, tgtf- 1+?sec0, .ГЛАВА 1
139;
Решение 1.9. Если ft — направление движения фотона от звезды к наблюдателю, то наблюдатель видит звезду под углом ft = я —ft. Закон преобразования направлений, по которым движется фотон, выведен в предыдущей задаче. Из него следует, что в рассматриваемом случае
-у. а - cosO'-?
Но тогда число звезд dN, наблюдаемых в телесном угле dQ, равно dN = N dQ/4n = (N/4n) 2л d (cos ф) =
j_ „ d(cos^) d( 2 d(coso') 1C ;
Поскольку dN = 2nP (ft', ф') d (cos ft'), то в системе отсчета S' плотность распределения звезд оказывается равной
f^u ' V' 4я (l-?coso')8
Проверка. При ?->-0 плотность распределения звезд P (ft', <р')-»-->-W/4n = P(ft, ф),
По сфере — 1
Нетрудно проверить, что половина всех звезд заключена между ft' = 0 и fti'/, = arccos ? < я/2. Следовательно, в системе отсчета S' звезды «скапливаются» в направлении движения. При ?«=sl угол fti'/,«rf[2(l — ?)]'7', и «скопление» становится весьма заметным.
Решение 1.10. Длина 4-вектора А равна | А • А |'/>, а A-A = (3'/?, + 2'/-ех) - (З'Ч + 2 '/*,) = = 3е, е< + 2ех-ех + 2Убе,-ех =* = -3+2 + 0 = -1.
Если ft —угол между векторами А и е<, то
cos ft =--& = — З'/«.
IA-Al'/'|е,-е,I1''
Этому соотношению не удовлетворяет вещественный угол ft.
Решение 1.11. Из соображений симметрии ясно, что при следующей встрече Адама и Евы показания их часов будут одинаковыми. В этом нетрудно убедиться, рассматривая интер-140
РЕШЕНИЯ
валы собственного времени Адама и Евы в системе координат, связанной с покоящимся инерциальным наблюдателем. В полярных координатах
-dt2 = — dt2 + dr*+r2d<f>2 + dz2. (1)
Координаты мгновенно сопутствующей инерциальной системы, связанной с Адамом, фл = ю< при постоянных г иг, координаты Евы фй = — со* при постоянных г иг. Следовательно,
dx\ = dxb = dt2( 1 - г2«»2), (2)
и интервалы собственного времени для Адама и Евы совпадают.
Второй метод решения состоит в рассмотрении неинерциаль-ной системы координат, связанной с Адамом. Поверхности одновременных событий Адам может строить, продолжая ортогональные его мировой линии гиперповерхности, проведенные через равные интервалы его собственного времени. Пусть Хв — собственное время Евы, соответствующее точкам пересечения ее мировой линии с гиперповерхностями Адама. Адам может вычислить хА как функцию от хЕ. Определим далее 4-вектор w, соединяющий мировые линии Адама и Евы, который ортогонален 4-скорости Адама.
t = ух А,
»1 a JC=Sin <В* = Sin covti, /о \
Мировая линия Адама: . 1 ' (За)
у = COS <ut = COS СОуТА» 2 = 0.
t = yxE,
\я . г- Х~ — sin at = — sin OJVTp, ,O--V
Мировая линия Евы: , 1 " (36)
у = cos orf = cos соут в,
Z = О
(радиус колец принят равным единице). Зная координаты концов, находим компоненты вектора w:
w=xA -Xe = [y(ta — Sincoyt4 + Sincovrfi, coscoytA — cos<oyt?, 0],
ua = (y» mycoscbyta. —coysinc0yira. 0) и из условия ортогональности W-U4 = O получаем
Тд - T? — ®Y-t sin [«»у (хА+тЕ)]. (4)
Уравнение (4) трансцендентно относительно тд(тк). Однако нетрудно видеть, что при
sin 2(оухА = sin 2со* = 0, (5)
Т. е. когда мировые линии Адама и Евы пересекаются, хА = хв.ГЛАВА 1
141;
Решение 1.12. Подставляя w = it, w' = it' в формулы преобразования Лоренца