Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
РЕШЕНИЯ
Когда R близко к Rm,
R2^V (Rm) + (R - Rm)* V" (Rm) + ...=
= (1 + є)2/* - 1 + [A1^R - (1 + е)'/зр. По таблице интегралов находим
R = {! + [1-(1+ е)-'/.]''/, sh Av2 (t -tm)l (4)
где R = Rm при t = tm, Для малых є имеем приближенно
R^Rm[ 1 +|shA^(/- и]-
Таким образом, R остается приблизительно равным Rm в области, где
т. е. для промежутка времени
(/-U^A-'/* In
Если выбрать достаточно малое е, то этот промежуток можно сделать произвольно большим. В конце концов, однако, R вновь начинает возрастать так, что
R2 3 '
и в пределе мы приходим к Вселенной деСиттера из задачи 19.30.
Если образование квазаров происходит при Z = 2, то R = Rm при Z = 2, т. е.
R0 = Rm(l+z) = 3Rm = 3A-K
Если это так, то (при е<4) плотность вещества в современную эпоху должна быть равна
p0 = (4яЯёЛ'/г) 1 = (108л)"1 Л.
С другой стороны,
Rl J
Полагая H0 = IO 28 см-1, получаем Л = 4-10 56 см откуда р0 = = 1,2 10 58 см 2= 1,6 IO-30 г/см3. ГЛАВА 10
499
Решение 19.34. Соответствующая данному значению А эффективная плотность есть
= ^ =T^4'10"" г/см3-Характерные плотности в Солнечной системе равны
Ртел ^ 1 Г/см», рсолн. снст ~ і О" Г/(10» CM)9 — IO-18 Г/СМ3.
Следовательно, влияние А на механику Солнечной системы по порядку величины равно
—--IO-19.
Рсолн. СИ CT
Решение 19.35. Уравнения Фридмана (задача 19.15) имеют вид
R = -jnG (р + Зр)Р,
RR + 2R + 2k = 4nG (р - р) R2.
Для статического решения все производные по времени должны обращаться в нуль, откуда следуют два условия:
р + 3/? = 0 и р = ZkfSnGRi.
Эта система не имеет решений, соответствующих жидкости, для которой плотность массы-энергии и давление положительны (т. е. любой известной жидкости).
Решения 19.36 и 19.37і Рассмотрим сначала более «легкие» случаи. Если метрика инвариантна во времени и симметрична относительно его обращения, то got = 0 и ее можно записать в виде
ds2=--goo(Xі) dt2+g„ (Xk)dx1 dxf.
Если соответствующая ей модель однородна (задача 19.37), то скорость хода часов во всех точках постоянна и g00 = const; если модель неоднородна, но давление отсутствует (задача 19.36), то можно найти такое локальное преобразование временной координаты, которое привело бы к goo = const (как было показано в задаче 16.25). В этом случае из обычной формулы для Ttiva видно, что единственными не равными нулю компонентами являются Tyft. (Действительно, любая компонента с индексом 0 является либо производной по времени от компоненты g0j, либо производной от goo.) Теперь мы можем вычислить R00 по стандартной формуле, включающей символы Г; так как при этом каждый член формулы 500
РЕШЕНИЯ
содержит Г с нулевым индексом, очевидно, что R00 = 0 и, следовательно,
Т\-~ Г% = 0,
откуда р + 3р = 0. Это, однако, невозможно для жидкости без давления или для любой физически разумной идеальной жидкости (т. е. обладающей положительными р и р).
Перейдем теперь к более «трудным» случаям. Пусть | —вектор Киллинга симметрии по времени, а и —4-скорость жидкости. Так как и параллельно § (задача 13.9), а § ортогонально к гиперповерхности, и также ортогонально к гиперповерхности, и, следовательно, (%? = 0. В уравнении Рейчаудхури (задача 14.10)
d® dft л
dx ^ dt '
где 1 = 5/(?. Таким образом, уравнение Рейчаудхури принимает вид
0 = а«- 2а2 -1W - 8я (Гар - \ (1)
Для случая р = 0 (задача 19.36) из уравнения Эйлера (задача 14.3) следует, что а = 0, и уравнение (1) сводится к уравнению
0 = — 2а2 — у ft2 — 4яр,
которое не имеет решений для положительных р.
Когда присутствует давление, тогда, вообще говоря, а не равно нулю, именно:
a=Vln|M|2.
Если же мы предполагаем однородность (задача 19.37), то а = 0
и мы приходим к уравнению
0 = — 2аг — у O2 — 4л (р + Зр), которое опять-таки не имеет решений для р + 3р>0. Решение 19.38.
а) Из того факта, что при движении галактики
Xі = const,
вытекает
dx1 = 0
и, следовательно,
ds2 = — dr2. ГЛАВА 10
501
б) Если dx=*0, то
ds2 = gi/ dx' dx>.
в) Если goi и gi/ не зависят от всех х1, то на гиперповерхности T = Const вообще ничего не зависит от Xі и, следовательно, пространство однородно. Однако неудачный выбор координат и обусловленное им кажущееся искажение пространственноподобной гиперповерхности могут приводить к зависимости метрических функций однородного пространства от пространственных координат.
г) В задаче 14.9 мы показали, что если пространственный вектор, связывающий две соседние геодезические, обладает постоянной длиной, то для поля геодезических CTct3 = д = 0. Если g0i и gij не зависят от т, то связывающий вектор будет обладать постоянной длиной.
д) Так как «° = -f 1 и и' = 0, мы имеем
Ut-/ = — иУТуі; = — Toij = — у igI0j + g0)ti — gij%0) = ~ gth0
Ь ш* и% = \g |V. ы«)1в =/-v.(/v.)i0 e Ц. Далее из уравнений (1) и (2), а также из формулы
О« р = J ("а; + - ~ (3)
(см. задачу 5.18) получаем
Oy =у («,;/+«/;/)-I Ogv =Jfgi/ -^fgij= 0- (4)
е) Имеем
а* = иа:рыР = и<*:0 = Г«й0,
aXX. = Г аоо — "2" (gao.o ""bgao.o — goo,a) = goa.o-
