Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 21.5. Беря вариацию от действия
S = — (Sn)-1J (Ф; аФ: а + т2Ф2) (—ff)'/a (IiX,
получаем
0 = ^ = [2 тЧ> - 2 (-^-«/,[(-яу/.ф. «],„](_ g)4,
или
?Ф-т2Ф = 0. (1)
Из задачи 21.3 следует, что тензор энергии-импульса есть
Tiiv = 2 ( ff)-1/2 T^Pv
бgcv
= ^(- g)-'U [Ф. цФ, V (- gY'' - Y (ф. a + т*ф2) (- ff)V'ffnv ] =
= ~ [Ф. цФ. v- Y (Ф. аФ' a + /П2Ф2)], (2)
и, следовательно, его дивергенция равна
Vм., V = A- (dv v + Ф' "ЩФ - Ф, a; 1VD-a - т2ФФ- •"¦). (3) 522
РЕШЕНИЯ
Для скалярного поля Ф справедливо также соотношение
= (4)
в силу которого уравнение (3) принимает вид
= = (5)
Последнее равенство следует из уравнения (1).
Решение 21.6. Вариация интеграла действия дает
б (L (-g)''') = і =
бЛц 4я
_ 1 Д (Vv^fe ^ (-OvQ _ 1QQa (Л^Г Гу/Л
где мы воспользовались результатом задачи 7.7 (и).
Используя формулу, выражающую тензор энергии-импульса через плотность лагранжиана, получаем
о 8L , т 1 8Wevi) 1 _ ^v
= (2) Рассмотрим теперь плотность лагранжиана вида
H " - т ^a* v)(- ^a- (3)
Вариация L по Av, дает уравнения Максвелла:
^v: V = 0, (4)
а варьирование L по F^v приводит к соотношению
Z7tiv = 2/4tv: ^3. (5)
Решение 21.7. Варьируя лагранжиан по Ф, получаем
откуда
2соФ-1 QO — соФ^Ф, аФ'а + = 0; (1) ГЛАВА 10
523
здесь мы использовали равенство
1
(!)
?Ф ^ Ф. в; « = —Ц_ (ф.«{_ g)4n\а. (-g)2
Вариация L по gap содержит три члена: б(-шФ аФЛаРФ-Ч-е)'/г)
oga? ~
= _ ® [ф. «ф. P (_g)v, _ I ф- ^ф,^ (2a)
a также
(II) 6 (Ф/? (— = (— ^VKDG«*16ge|i + Ф (— fir)v- Sep (26) где
(- gY'*f* б = -L- [(- sY'-i^ orv - g«*6Het)] (2в)
(см. задачу 21.4). Кроме того, из выражения для символов Г через производные от g имеем
erv= -gKp ^gpaT'Vv + ^p[(ogpn). v + -(?fiivXp]'=
= і fi^ [(6g«i): v + (6gpv); , - (Bgliy), р]. (2г)
Далее, используя уравнения (2в) и (2г), можно записать
ф (- gY'4f* SRafi б^ (- Ф.« р + fop ПФ) (- g)v., (2д)
где стрелка обозначает операцию отбрасывания всех полных дивергенций (они обращаются в нуль при интегрировании). Объединяя уравнения (26) и (2д), получаем
б (ФЯ (- gY '•) = (- gY"Sga* [- Ф, « Ii +gap ? Ф + OGap]. (2е)
Оставшийся третий член имеет вид
(III) 16я 6^B66g~g) ,Л> = - 8я (— gyi*TaР. (2ж)
И, наконец, используя уравнения (2а), (2е) и (2ж), мы приходим к уравнениям поля, полученным путем варьирования по gap:
Ga? + Ф-1 (ga? ? ф - ф. в: ?) -
-(0ф-2(ф,аф,р -1 ^арФ^Ф^-влФ-^вз =0. (3)
Решение 21.8. Выберем для простоты такие координаты (они называются гауссовыми нормальными координатами, см. задачу 8.25), в которых метрика принимает вид
ds* = dn2 + ^gl, dx'dxJ. 524
РЕШЕНИЯ
Координаты jc'(t=l, 2, 3) играют роль «жестких перемычек» внутри поверхностного слоя, который расположен, как мы будем считать, при я = 0. Из уравнений для начальных значений имеем
G', = i»>G', + (Kt, - б', Sp К), п - (Sp К) К'/ +
+1 б', (Sp /С)2 + і б', Sp (/С)2 = SnTi/.
Проинтегрируем теперь по л от — є до +е, используя тот факт, что п представляет собой собственное расстояние, перпендикулярное 3-поверхности, а затем устремим є к нулю. Поскольку внутренняя геометрия 3-поверхности вполне определена, единственным остающимся после этого «предельного» интегрирования членом является член, включающий производные внешней кривизны. Отсюда, обозначая «скачок» К через [К], находим
[A:V-6i/Sp[A:] = 8n5'/,
или
Sp [/(]=--4nS/ в= —AnWgyS1',
откуда
= Ця',-у 6^s**)'
Решение 21.9. Из уравнений для начальных значений имеем
Gni--{КГim -(Sp /С).,} = - \Ktm -б/» Sp (K)U = SnTnl.
«Скачок» Gni при пересечении 3-поверхности есть
{[КЛ-Si-Sp [/CHim--8я Tni].
Совместно с результатом задачи 21.8 это дает
SimIm=--[7Л].
Решение 21.10. «Поверхностный тензор энергии-импульса» тонкой пылевой оболочки имеет вид
Sap = оиаи$.
Из решения задачи 2І.8 имеем
[/С1,]-8^(^4-7^/(-
или
fl (3) 1
UjUf+2 W
Так как вне оболочки энергия-импульс отсутствует, [TniJ = O ГЛАВА 19
903
и из уравнений движения (см. задачу 21.9) получаем О = Si1" т = о, mumui + о«"1, OTMi -f OUi; тмт = = -%ui + auium т + ощ\тит. (2)
Свертывая это выражение с и, мы проверяем второе из приведенных в условии соотношений:
? + оитт = 0. (3)
Сравнивая с уравнением (2), мы видим, что
UiimUm==O.
Следовательно,
а = Vuu = и1 V, (u'tj) = и1 (иі. „е, + UfKtj n) = u'u'Ki, п. (4)
[Для получения второго от конца равенства мы воспользовались уравнением (2) из решения 9.32.J Третье искомое соотношение следует теперь из уравнений (1) и (4):
а+ — а~ = UiUi [Кij] n = 4яап
Чтобы проверить четвертое соотношение, нам необходимо показать, что
(Kti+ Kl/) UiUi = о.
Сделаем это с помощью уравнения для начальных значений
[G"h] = 8я [Тпп] = 0. Так как кривизна (3)/? непрерывна, отсюда получаем
о = [Sp (Ki) - (Sp /С)2] = KiJ+Kl+- K1i-Kii- - (/Cj+)2+(КГ)2 =
-(KiJ++кп W+ - KiJ- - 1V (каа+ - КГ)} =
={к)+ + кг) {И] - б/ Sp [/с]},
где мы воспользовались также легко проверяемым фактом —тем, что K1J+ и К)- коммутируют. Поскольку
