Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
dL = (1 +z)Rorx = (1 - <!o)z* +...],
или в эквивалентной записи
'-^-Sn+fo-D«+...].
Решение 19.11.
а) Пусть /I(Z1)-число источников в единице объема в момент времени Z1. Элемент объема записывается в виде
I Wg I'/. (Ir1 ^O1 diP1 = R3 (Z1) (1 - Arf)-'/. r\ dr1 sin O1 d<pa.
Следовательно, число источников в слое между г і и г Xjr drx в момент времени Z1 есть
dN = 4nR3 (Z1) (1 - kr\)~4> r\n (Z1) drv
Величины Z11 и Z1 связаны друг с другом уравнением распространения световых лучей в метрике Робертсона — Уокера [уравнение (2) в решении задачи 19.10], т. е. rl = r(t1), где
dri = {\-kr\y dtjRih). Таким образом, имеем
dN = 4я/?а (Z1) г2 (Z1) п (Z1) I ^Z11
и
JV (г) = ^ntf2(Z1) As(Z1) /I(Z1) Aj, і. 478
РЕШЕНИЯ
где tz — космологическое время, соответствующее красному смещению г; оно определяется в неявном виде с помощью соотношения
/п
R (to) l+z'
Поскольку плотность числа источников сохраняется, имеем
п (Z) Я3 (0 = const [это равенство вытекает из (аш^);ц = 0]. Следовательно,
N (г) = 4зш (Z0) R3 (Z0) 5 R-1 (Z1) г2 (Z1) M1.
Если г мало, то t0<=&tz, и мы можем воспользоваться разложениями
R Vi) = R (к) [і - H0 (Z0 - Z1)..], (2)
^)=^1)+іад-о+...]
[см. решение задачи 19.10, уравнения (1) и (3)]. Таким образом, для малых г
N (Z) = 4т (Z0) f (Z0 - Z1Hl + 2H0 (Z0 - Z1) + .. .]*? =
tS
Чтобы из уравнения (1) определить Z0- Zl5 с точностью до &(z2), нам необходим следующий член в уравнении (2):
R (Q = tf(U[l- H0 (t0 ЯоНЬ (Z0 - Uf+...].
В результате получим
H0(t0-Q = z[\-z{\ +1)+...]
и, наконец,
Заметьте, что с точностью до данного порядка по z оказалось возможным обойтись без уравнений поля.
б) Регистрируемый на Земле поток излучения есть
С_ Wi) _
' 4яr\R* (ta) ГЛАВА 10
479
(см. задачу 19.9, где S обозначалось через і). Следовательно, как и в п. «а», имеем
N (S) = $ W (Z1) a2 (Z1) п (Z1) dtlt (4)
's
где при подстановке нижнего предела интегрирования справедливо соотношение
!(tS) _
K2Vs) 4 *№(*<>)'
(5)
получающееся из формулы (3). Когда излучение S велико, то разность Z0-Zs мала, и разложение интеграла (4), как и в п. «а», дает
N (S) = ^ п (Z0) (Z0 - Zs)3 [ 1 + H0 (Z0 - Zs) +...].
Подставляя разложения для г (Zs) и R (Zs) в уравнение (5), получаем
откуда
Решение 19.12. Выберем новую радиальную координату х, определяемую соотношением
dtf = dr*/(l -kr2).
Тогда для фотона, распространяющегося вдоль радиуса, dft = = dcp = 0, а метрические коэффициенты вдоль траектории не зависят от х- Следовательно, х — циклическая координата и рх = = Const вдоль траектории луча (см. задачу 7.13). Поднимая этот индекс с помощью метрического тензора, получаем
рх = С/Р2 (Z),
где С —некоторая постоянная. Но
pf- = dx/dX,
откуда
dX = C-1R2 (Z) dx^C-1 R2 (0 dr .
(1 -kr*) h
Обратите внимание, что, поскольку R — функция Z, она является также функцией г вдоль световой линии прошлого. 480
РЕШЕНИЯ
Решение 19.13. В сопутствующей ортонормированной системе координат имеем
Г3б = -р и Г; = 7%=7^ = р.
Следовательно, тензор энергии-импульса «с обратным следом» T обладает компонентами (см. задачу 13.14)
7so = -l(p + 3p) и Tit =4-(P-P)-
Приравняем его тензору Риччи, умноженному на 1/8лС. Компоненты тензора Риччи можно вычислить, например, из результатов задачи 9.20 (сферически-симметричная метрика общего вида). Они равны
Rh= + +
Отсюда немедленно следуют искомые уравнения. Если бы мы воспользовались другим, эквивалентным методом и приравняли 8лТцГ тензору Эйнштейна Gttv (представляющему собой тензор Риччи с обратным следом), то получили бы две линейные комбинации выписанных выше уравнений.
Решение 19.14. Первое уравнение получается просто путем Исключения $ из системы уравнений задачи 19.13. Второе искомое уравнение получается из него после использования тождества
Id [(*)>*= Я
И уравнения (1) из задачи 19.13:
(рЯ2) =-(р+ Зр) я,
^ (pR3) = SpR2.
Решение 19Л5. Уравнение (1) следует непосредственно из определения
H = RlR
и фридмановского уравнения первого порядка (задача 19.14) ГЛАВА 10
481
Если мы теперь продифференцируем это уравнение по R, используем тождество
A5sIdKtf)2]/^,
а также другое уравнение первого порядка
d(pR3)/dR = -3pR2
и определение
q =Z-RRiR*,
мы придем к уравнению (2). Если р^>р, то левой частью уравнения (2) можно пренебречь по сравнению с правой, и мы получаем уравнение (3). Подставляя уравнение (3) в уравнение (1), находим уравнение (4). Если р = 1/Зр, то, исключая р из уравнений (1) и (2), мы получаем уравнение (5), а исключая член k/R2, приходим к уравнению (6).
Решение 19.16. Подставляя в уравнение сохранения энергии с ц = / соотношения
Т°о = — р и T!i (нет суммирования по индексам) = р,
а также используя условие однородности Pj = 0, получаем
Om V гр V гр Vptt I гр OtpV = 1 /; V= I j, V — іа1 /V-T-' / і av —
= P,/ + РГ°/0 - PTkik + рГ v/v = (р+р)Г°/0 = 0, т. е. тривиальное тождество. Компонента р, = 0 дает
