Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = R2 (ті) [ - dr]2 + dy? + S2 (X) dQ2], (1)
где 2(x) = sh%, х» sin X Для & ——1, 0, +1 соответственно. Поскольку при конформных преобразованиях сохраняются неизменными световые конусы, представляется естественным перейти в качестве первого шага к изотропным координатам, например
"=4-(il+X)>
Ii , (2)
»-у (4-Х)-
Тогда метрика приобретает Вид
ds2 = Я2 (и + V) [ - Adudv + 22 (и - v) dQ4]. (3)
Воспользуемся теперь преобразованием, которое сохраняло бы, во-первых, «изотропность» координат, а во-вторых, симметрию между UUV'.
a = g(u), и = f (а),
? = *(o), o = /(?), ( }
где g — функция, обратная /. После такого преобразования выражения для интервала (3) получаем
ds2 = R2(u + v)[- 4/' (а) /' (?) dccd? + S2 (и - v) dQ2] =*
= R2 (и + v)f' (а)Г (?) [ - 4dad? + ^"g dQ2]. (5)
Если метрика должна быть конформно-плоской, член в квадратных скобках должен иметь такой же вид, как для плоского пространства, т. е. [ — 4dad? + (a — ?)J dQ2]. Если воспользоваться функцией
/' (а) = du/da = (da/du)'1 = [g' (w)]~\474
РЕШЕНИЯ
то условие это можно записать:
ё' (И) g' (V) [2 (и - v)f = [g (м) - g (V)]*. (6)
Для A = O имеем
I1(U-V) = U-V,
так что путем непосредственной подстановки можно убедиться, что функция g(x) = x удовлетворяет условию (6). Для двух других случаев из уравнения (6) можно найти сначала решение для координаты V, мало отличающейся от и, т. е. для V = Ujr е. Разлагая уравнение (6) в ряд Тейлора, получаем
(g')a [1 + eg" Ig' + eV"/(2g'j.. •] єа (1 - W.. .)2 =
= єа (g')2 [1 + zg"/(2g') + z2g"'l(6g').. .]2, (7)
так что, полагая p = g' и q = p', для случая &= + 1 мы приходим к уравнению
2 qdq/dp — 4 р = Zq2Ip.
Это дифференциальное уравнение есть уравнение Бернулли; его решение имеет вид
q = p(Ap — 4y*, A = const. Интегрируя дважды, получаем
и +B = arctg (Apl 4-1 У'*, g(u) = Ctg(u + B)JrD.
Непосредственно подставляя в уравнение (6) это решение, можно проверить, что фактически оно представляет собой общее решение уравнения (6). Не теряя общности, мы можем положить g — tgu. Для случая k = —1 аналогично можно найти g = th«. Если подставить эти решения, то уравнение (6) превращается в два тригонометрических тождества:
sec и sec V sin (и — у) = tg и — tg V,
sech и sech V sh (и — v) = th и — th и,
а метрика (5) приобретает вид
- I- 4da +(a -?)2 dQ4>
или
^2=T-t)a-?")?] f- P)2 d^
В такой записи ясно видно, что она является конформно-плоской. Для конформно-плоской метрики тензор Вейля тождественно равен нулю, так что тензор Римана состоит только из тензора РиччиГЛАВА 10
475
и скалярной кривизны (см. введение к гл. 9):
RaPv6 = 26?/??] - { 6[«[V6W6]^. (8)
Эта формула совместно с уравнением Эйнштейна
и выражением для тензора энергии-импульса Tafi = (р + р) +Pgafi дает искомое выражение Ra^yа через ^v, Mix1 р и р.
Решение 19.9. Если физический размер объекта есть D, а стягиваемый им с точки зрения земного наблюдателя плоский
угол равен 6, то dAs=D/6. Если воспользоваться метрикой Робертсона—Уокера, то из фиг. 34 видно, что D = Rtfr16, откуда
dA = T1RV1).
Если объект движется перпендикулярно лучу зрения с собственной скоростью V, а видимая скорость углового движения есть476
решения
do/dt, то
dM es V/(d6/dt).
Пусть /' — промежутки времени, измеряемые в момент испускания фотонов. Так как V = d(R(ti) r&ldt', а dt'ldt = R(ti)/Ro из-за космологического красного смещения и, кроме ТОГО, R itl) можно рассматривать как постоянную величину, поскольку ее изменение не приводит к появлению движений, поперечных к лучу зрения, мы получаем
d-м = Rof і-
Если объект обладает истинной светимостью L, а мы наблюдаем поток Л то
dL = {ЫШУ'к
За время dt' объект излучает энергию Ldt'. К настоящему времени это излучение испытало красное смещение, описываемое отношением R(ti)/R0, и в момент наблюдения распределено по сфере, собственная площадь поверхности которой есть 4л (T1R0)2 (см. фиг. 34). Следовательно,
t = (L dt'RfR0) ^nr1R0YiIdt
и
dL = RbrlIR (tj.
Используя соотношение
приходим к искомому результату
(l+z)2dA = (l+z)dM = dL. Решение 19.10. При решении задачи 19.19 мы нашли di = PbrjRit1),
где T1 — радиальная координата объекта, a P (Z1) — масштабный фактор в момент испускания света tv Так как H0ss$/R, a ^0 в == — RR/Йа, первые члены в разложении R (t) в степенной ряд имеют вид
R(t) = R0(l+H0(t-t0)-±qoH'o(t-t0)* + ...). (1)
Мы можем исключить R(^t1) из выражения для dL, используя соотношение R0IR V1) =1+2, но нам нужно будет еще найти выражения для R0 и rv Чтобы получить траекторию световых лучей в метрике Робертсона — Уокера, положим ds2 — 0. ТогдаГЛАВА 10
477
получим
U ^ г,
J W)= I (1-і*)v.- (2)
Г, U
Используя для R (Z) выражение (1) [с точностью до двух низших порядков по (Z0-Z1)] при выполнении интегрирования в уравнении (2), имеем
гг = Го [Є» Н° (tO-'і)3+---]- (3)
Определяя (Z-Z0) из уравнения (1) и выражая через 1+z = = RoIRVi), окончательно находим