Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 5.8. Плоский конденсатор состоит из двух больших пластин площадью А, перпендикулярных оси х и разделенных небольшим промежутком d. Конденсатор заряжен так, что между его обкладками возникло однородное электрическое поле E (неоднородностью поля на краях обкладок можно пренебречь). «Электростатическая масса» конденсатора в его системе покоя составляет E2 Ad/8 я. Доказать, что электростатическая энергия уменьшается, если конденсатор движется в направлении оси х\ Учтем теперь, что обкладки конденсатора необходимо удерживать на расстоянии d друг от друга. Предположим, что им не дает сблизиться идеальный газ с собственной плотностью р0. Доказать, что полная энергия конденсатора (электростатическая энергия+энергия газа) возрастает с увеличением скорости движения вдоль оси х точно так же, как энергия материальной точки.
Задача 5.9. Рассмотрим систему дискретных частиц с зарядом ці и массой mt, взаимодействующих посредством электромагнитных сил. Исходя из явного вида тензора энергии-импульса Ttlv для частиц, доказать, что полный тензор энергии-импульса T^lv (системы частицы плюс поле) сохраняется: Tlivtv = O.
Задача 5.10. Спектральная интенсивность Zv излучения служит мерой интенсивности излучения вблизи частоты V в заданном направлении. По определению она равна потоку энергии, соответствующему единичному интервалу частот вблизи частоты v и приходящемуся на единичный телесный угол. Доказать, что величина /v/v3 лоренц-инвариантна.
Задача 5.11. Излучение, испускаемое звездой, изотропно в ее системе покоя. Светимость звезды (количество световой энергии, 40
ГЛАВА 1
излучаемой в единицу времени) равна L. В некоторый момент времени звезда (по измерениям, произведенным с Земли) находится на расстоянии R и движется со скоростью v, образующей угол Ф с лучом зрения наблюдателя, который следит за звездой с Земли. Выразить поток излучения (количество световой энергии, испускаемой за единицу времени единичной площадкой на поверхности звезды), приходящий к наблюдателю на Земле, через R, V и вычисленные в тот момент, когда излучение было испущено звездой.
Задача 5.12. Сферическая частица с массой т рассеивает все падающее на нее электромагнитное излучение изотропно в своей системе покоя. Пусть Л— эффективное сечение рассеяния частицы. Вывести уравнение движения частицы в постоянном поле излучения с интенсивностью 5 (энергией, переносимой в единицу времени через единичную площадку) и решить его для случая, когда частица первоначально покоилась (эффектПойнтинга — Робертсона).
Задача 5.13. Черная сфера, изготовленная из теплопроводя-щего материала и снабженная термометром, движется со скоростью V через поле излучения абсолютно черного тела с температурой T0. Что показывает термометр?
Задача 5.14. В электронном газе с температурой T^meC2Ik фотон с энергией E^meC2 претерпевает столкновения и компто-новское рассеяние. Доказать, что в низшем порядке по E и T средняя энергия, теряемая фотонами при столкновениях, имеет вид
<ДЕ) = (Е/тес2) (E-AkT).
Задача 5.15. Доказать, что в специальной теории относительности тензор энергии-импульса изолированной физической системы конечной протяженности удовлетворяет тензорной теореме вириала:
J Т'Ы'лх = ~~ j T00XiXidh.
Задача 5.16. Доказать, что тензор энергии-импульса T^v обладает времениподобным собственным вектором в том и только в том случае, если физический наблюдатель ни в одном направлении не обнаруживает нескомпенсированного потока энергии. Какой физический смысл имеет собственный вектор тензора энергии-импульса?
Задача 5.17.
а) Рассмотрим напряженную среду, движущуюся со скоростью относительно некоторой инерциальной системы отсчета. ЗАДАЧИ
16
Доказать, что в первом порядке по скорости пространственные компоненты плотности импульса равны
gi = m'kvk,
где величины mJk («инертная масса, приходящаяся на единицу объема») определяются из соотношений
mjk = fO'0'^к _j_ fi'k'
(т. е. выражаются через компоненты тензора энергии-импульса T^v в системе покоя жидкости). Чему равны mfk для идеальной жидкости?
б) Рассмотрим изолированное напряженное тело, находящееся в состоянии покоя и в равновесии (Tapi0 = O) в лабораторной системе отсчета. Доказать, что полная инертная масса такого тела, определяемая соотношением
Mij = § т'> dx dy dz,
по напряженному телу
изотропна и равна массе покоя тела, т. е. доказать, что
М.Ч = S'' ^ Г00 dx dy dz.
Задача 5.18. Пусть и —4-скорость жидкости. Доказать, что Vu можно представить в виде
«a; ? = ©a? + Oa? + у APap — йаЩ,
где а —«4-ускорение» жидкости
аа = иа- ?«P, Ф — «расхождение» мировых линий жидкости
& = V • U = иа.а,
(о„р — «2-форма вращения» жидкости, а aa? —«тензор сдвига»:
®a? = Y (иа; ц/^? - % ц/^а),
Oa? = Y Л + "ft ^pii") ~ у Здесь P означает так называемый проекционный тензор
Pa?=ga? + «a«?,
проектирующий векторы на 3-пространство, перпендикулярное 4-вектору и. 42
ГЛАВА 1
Задача 5.19. Записать первое начало термодинамики для релятивистской жидкости (т. е. записать закон сохранения массы-энергии для элемента жидкости).
