Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
2) d (Q1 + Q2) = dQj + dQ2. ^
3) Для любой О-формы / (скаляра) d/ определяется из соотношения (Af, v) = Vv/, которое должно выполняться при любом векторе v.
4) d(Q1AOa) = dQ1AdQa + (—I^Q1AdQa, где Q1-р-форма.
[Примечание. При р = О (/ — скаляр) это соотношение принимает вид S(fQ) = d/A Q+/Sq.]
5) ddQ = 0 для любой дифференциальной формы Q.
Другое определение исходит из того, что р-форма представляет собой полностью антисимметричный ковариантный тензор ЗАДАЧИ
16
р-го ранга и задает внешнюю производную как полностью анти-симметризованную ковариантную производную. Доказать, что оба определения внешнего дифференциала формы эквивалентны.
Задача 8.6. Рассмотрим 2-форму в л-мерном пространстве:
a= fix1, х2, .... л:")Sx1Adx2.
Предположим, что в некоторой области этого пространства, содержащей X1==O,
doc = 0.
Построить 1-форму
Г 1 1
P= X1IfdX1, X2.....хп) dl Sx2
L о
и доказать, что a = d?.
Задача 8.7. Компоненты тензора Максвелла Fa^ можно рассматривать как компоненты некоторой 2-формы F. Доказать, что уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде dF = 0, d* F = O.
Задача 8.8. В пространстве-времени 3-поверхность называется пространственноподобной, времениподобной или изотропной, если вектор нормали к ней соответственно пространственноподобный, времениподобный или изотропный. Требуется найти три ортогональных (и, следовательно, линейно-независимых) вектора, принадлежащих некоторой 3-поверхности. Доказать, что для пространственноподобной 3-поверхности все векторы будут простран-ственноподобными, для времениподобной поверхности два вектора будут пространственноподобными, а один времениподобным и для изотропной поверхности один вектор будет изотропным, а два вектора пространственноподобными.
Задача 8.9. Доказать, что интеграл
где Fil—некоторое векторное поле, S— ориентированная 3-мерная гиперповерхность в пространстве-времени, не зависит от параметризации X11 = X11 (а, Ь, с) гиперповерхности S. [Определение ^3S11 приведено в задаче 3.30.]
Задача 8.10. (Примечание. Эта задача предполагает знакомство с теорией дифференциальных форм Картана, не входящей в большинство курсов по теории относительности. Для решения 60
ГЛАВА 1
последующих задач знать дифференциальные формы не требуется.) На языке дифференциальных форм обобщенную формулу Стокса можно представить в виде
$dft = Jft.
Q д?3
К чему сводится эта формула в следующих частных случаях:
а) Q - 3-мерная ориентированная гиперповерхность, ft = /*d2S/e;
б) Q —4-мерная ориентированная гиперповерхность, O1=^d3S11;
в) Q —3-мерная ориентированная гиперповерхность, ft = _ /TiivtI2Sliv, Где тензор Z7liv антисимметричен.
г) Вывести из обобщенной формулы Стокса известное соотношение
§A-dl = \(fxA)-dS.
Задача 8.11. Доказать, что, за исключением самого метрического тензора g и его произведений на себя (например, g®g), не существует других тензоров, образованных из 10 компонент метрического тензора ga?l и их 40 первых производных gap.n-
Задача 8.12. Доказать, что:
а) В координатном репере символ Кристоффеля Tapv симметричен по двум последним индексам.
б) В ортонормированном репере символ Кристоффеля Fcepv антисимметричен по двум первым индексам.
Задача 8.13. Производной Ли скалярной функции называется производная по направлению
<3?x/=Vx/.
Производную Ли для векторного поля у определим как
<5?ху=[х, у] = Vxy-Vyx.
Оператор дифференцирования в смысле Ли обладает всеми обычными свойствами оператора дифференцирования и всегда порождает тензор того же ранга, как и дифференцируемый тензор.
а) Найти производную Ли 1-формы.
б) Найти производную Ли тензора с компонентами Ta р.
Задача 8.14. Пусть A = d/dk — касательное векторное поле к конгруэнции (семейству кривых) XPi = Xa(K), В —некоторое векторное поле. Доказать, что закон переноса <5?аВ = 0 имеет следующий геометрический смысл: векторы В соединяют точки с равными значениями К, принадлежащие бесконечно близким кривым конгруэнции. ЗАДАЧИ
16
Задача 8.15. Доказать, что дифференцирование в смысле Ли коммутирует с операцией свертки.
Задача 8.16, Доказать, что
W у __у __ W
Jy U^C V — c^v^U - c^tu, V]'
Задача 8.17. Производную Ли геометрического объекта Фл [х^(Р)] (А означает все тензорные индексы, xv-(P) — координаты точки Р) можно определить следующим образом. Выполним инфинитезимальное точечное преобразование P0-+-Pn, или в координатной форме Xli(P0) = ^1(Pn) + S'1 (Pn) (поскольку бесконечно малая величина, ее значение можно вычислять в любой из точек P0 или Pn). Кроме того, произведем инфинитезимальное преобразование координат, придающее координатам точки Pn те же численные значения, которые соответствовали точке P0 в исходных координатах:
** (Pn) =^ (P0)-
После этого положим по определению
(Po) = Hm [ФA (P0) - фЛ (Pn)I
I-O
Рассмотрев следующие случаи:
1) ФА —скалярное поле,
2) ОИ = Allt
3) ФА = V,
доказать, что это определение производной Ли эквивалентно определению, данному в задаче 8.13.
