Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
а) Предположим, что векторное поле к ортогонально семейству гиперповерхностей («гиперповерхностно ортогонально»). Доказать, что тогда k^.vkxi = 0.
б) Какой геометрический смысл имеет «гиперповерхностно ортогональное» векторное поле, если ^[(Ji;v) = 0?
Задача 7.24. Доказать, что любая конгруэнция изотропных кривых (т. е. любая ортогональная им гиперповерхность) состоит из изотропных геодезических. ЗАДАЧИ
16
Задача 7.25. Доказать, что вариационный принцип
б 5 (?сфіаір) ds = О
порождает те же геодезические, которые заданы их определяющим свойством
если S — собственная длина (а не произвольно выбранный параметр) и Jc == dxa/ds. Доказать также, что если у = то
8\F(y)ds=0
порождает одни и те же геодезические при любой монотонной функции F (у). ГЛАВА 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (НОВЫЕ ПОНЯТИЯ)
Вектор В связан со своими контравариантными компонентами B^ соотношением
В = ?%,
где е^ —базисные векторы. Ковариантные компоненты Bll задают тот же вектор, но представляют его как «вектор» другого типа — так называемую 1-форму. (Иногда 1-формы также называют «ко-вариантными векторами».) Для 1-форм аналог приведенного выше соотношения имеет вид
B = BilSP,
где тильда - означает 1-форму, а ю11 — базисные 1-формы с ковари-антными компонентами (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) и т. д. Произвольный тензор T с компонентами Та$...у6••• можно представить в виде
T=Ta?..ve-o«(x)o?(g)...(x)eY(x)e6(x)... .
Скалярное произведение двух векторов или двух 1-форм содержит компоненты метрического тензора и обозначается точкой:
А-В =^4^,
A-B = ^MliBv
(здесь ^ — матрица, обратная матрице ^liv). Скалярное произведение вектора и 1-формы содержит не компоненты метрического тензора, а лишь суммирование по индексу. Иногда это подчеркивают обозначениями, записывая его в виде
В'As(B, A)-^-
Поскольку (0м-, Gv) = 6%, то базис ш11 называется «взаимным» с базисом ец. Если В и А—1-формы, соответствующие векторам В и А, то
A B = A B = <В, А) = (А, В).
Особенно часто используется 1-форма Sf-градиент скалярной функции /. Скалярное произведение этой 1-формы и вектора v ЗАДАЧИ
16
порождает производную функции / по направлению v:
(df, v) = Vv/ = Д ava.
Базисные векторы еа, соответствующие выбранной системе координат, касательны к координатным линиям. Именно поэтому их иногда обозначают
__д_
Єа "" дха "
Аналогичным образом построенные по таким базисным векторам 1-формы являются градиентами координатных поверхностей
Aa = Sxa.
Наоборот, поскольку метрику пространства-времени всегда можно локально преобразовать в метрику Минковского, то в каждой точке всегда можно найти ортонормированную систему базисных векторов и 1-форм, не обязательно совпадающих с касательными векторами к координатным линиям и с градиентами к координатным поверхностям. Их принято обозначать е*, 0м-, где А указывает на ортонормированность системы. Заметим, что соотношения
<oa, e?> =Sa?, ea-e? = ?a? и Wa • o? = ga?
выполняются всегда. Если же базис ортонормированный, то, кроме того, выполняются соотношения
ga? = %? И ^aP = T1aP.
Если локальный ортонормированный базис в пространстве-времени свободно падает (т. е. является базисом свободно падающего наблюдателя), то в начале системы отсчета все символы Кристоф-феля ra?V обращаются в нуль.
Коммутатор двух базисных векторных полей
Veae? - Vepea = [ea, ер] 2= Ca?7 eY
тождественно равен нулю (c?? = 0) в том и только в том случае, если еа и e? — касательный векторы к некоторой системе координатных линий (координатный репер). В общем случае (не обязательно координатного репера)
T^?v = em-' (Vve?) = Y y + 8»у. ? — ёГру.м. + cn?v + <w? ~ cPym-) •
Тензор р-го ранга со всеми ковариантными индексами, полностью антисимметричный по всем индексам, называется р-фор-мой. Полностью антисимметризованное прямое произведение форм обозначается Д. 58
ГЛАВА 1
Понятия производной Ли, переноса Ли и внешнего дифференцирования форм развиты в задачах.
Задача 8.1.
а) В пространстве-времени введены координаты ха с базисными векторами д/дха и базисными 1-формами Oxfx. Вычислить
(Sx0, д/дх0), (Sx2, д/дх3) (д/дх°) ¦ (д/дх1),
dх°-Sx1, Sx0-Sx0.
б) Какому вектору соответствует 1-форма Sx1?
Задача 8.2. Обычный базис в полярных координатах е; = ел, е^ = г_1ео не является координатным репером. Рассмотреть базис 1-форм o', взаимный с этим базисом:
(S?, er) =^bch
Найти функцию /, для которой o/' = d/, и доказать, что не существует функции g, для которой й19= dg. Решить задачу, не налагая на полярные координаты никакой метрики.
Задача 8.3. Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять в 3-мерном евклидовом пространстве поле 1-форм «г для того, чтобы существовала функция /, для которой 5=9/?
Задача 8.4. Доказать, что если Q1- р-форма, Q2- <7-форма, то ОіДПг = (— I)"» Q2AQ1.
Задача 8.5. Внешний дифференциал формы Q можно определить аксиоматически, задав следующие его свойства:
1) Если Q —р-форма, то dQ —(р+1)-форма.
