Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
В безындексных обозначениях (X) соответствует прямому произведению (например, FvvAp записывается в виде F (g) А), а свертку FvaAa принято записывать в виде F-A.
Частные производные мы будем обозначать запятыми: например, Да = д[/дха.
Задача 3.1.
1) Два события разделены пространственноподобным интервалом. Доказать, что:
а) существует лоренцевская система отсчета, в которой они одновременны;
б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не происходят в одной и той же точке.
2) Два события разделены времениподобным интервалом. Дока-
зать, что:
а) существует система отсчета, в которой они происходят в одной
и той же точке;
б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не одновременны.
Задача 3.2. Найти 4 линейно-независимых изотропных вектора в пространстве Минковского. Можно ли найти 4 изотропных вектора, которые были бы ортогональны? ЗАДАЧИ
16
Задача 3.3. Доказать, что из всех непространственноподоб-ных векторов данному изотропному ненулевому вектору ортогональны лишь кратные ему векторы.
Задача 3.4. Доказать, что сумма двух векторов может быть пространственноподобной, изотропной или времениподобной независимо от того, являются ли эти два вектора пространственно-подобными, изотропными или времениподобными.
Задача 3.5. Доказать, что площадь поперечного сечения параллельного пучка света инвариантна относительно преобразований Лоренца.
Задача 3.6. Доказать, что ^lDvn и не инвариантны
ц Ii
относительно преобразований координат, а сумма инвари-
антна. (Тензор D задан своими компонентами Z>v.)
Задача 3.7. Тензор Fa^ антисимметричен по двум своим индексам. Доказать, что
р о Cv __р Fa?
rIi IV г а— rIicc, ?r •
Задача 3.8. В системе отсчета с координатами х** инвариантный линейный элемент имеет вид ds2 = r\a$dxadxP. Доказать, что если координаты подвергнуть преобразованию хР-^х*1, то линейный элемент примет вид
ds2 = g-vdx»dx\
и выразить g— через частные производные dxP/dx*. Доказать также, что если U и V —два произвольных 4-вектора, то
U .V = UWxte =
Задача 3.9. Доказать, что определитель метрического тензора g = det (^ixv) не является скаляром.
Задача 3.10. Доказать, что если Aap и Aa? —две матрицы, преобразующие компоненты тензора из одной системы координат в другую, то матрица AavA^ также задает некоторое преобразование координат.
Задача 3.11. Дан тензор Ka^. Можно ли проверить, является ли он прямым произведением двух векторов Ka^ = АаВ$? Можно ли записать ход проверки в безындексных обозначениях? 28
ГЛАВА 1
Задача 3.12. Доказать, что в общем случае тензор второго ранга в га-мерном пространстве нельзя представить в виде прямого произведения двух векторов, но его можно представить в виде суммы нескольких прямых произведений двух векторов.
Задача 3.13. Геометрический «объект» с двумя индексами, Xllv, определен как «прямая сумма» двух векторов: Xliv = А11 + ?v. Можно ли считать Xliv тензором? Существует ли закон, позволяющий преобразовывать X в новую систему координат, т. е. получать X» * из Xtiv?
Задача 3.14. Доказать, что тензор второго ранга F, антисимметричный в одной системе координат (Fliv = — Fvfl), антисимметричен во всех системах координат. Доказать, что контравариант-ные компоненты тензора F также антисимметричны (Fvv = — Fv^). Доказать также, что симметричность тензора второго ранга инвариантна относительно выбора системы координат.
Задача 3.15. Пусть Aliv — антисимметричный тензор (Aliv = = — А-ц), a Sliv — симметричный тензор (Sliv = Svii). Доказать, что ApivSliv = O. Вывести следующие два тождества, справедливые для произвольного тензора Vliv:
VllvAviv = I (Vliv - Vvi1) Ativ, VlivSliv = I + Vvv) Sllv. Задача 3.16.
а) Сколько независимых компонент существует у тензора
г-го ранга, не обладающего никакими симметриями, в га-мерном метрическом пространстве?
б) Сколько независимых компонент существует у тензора TvxP-, симметричного по S индексам?
в) Сколько независимых компонент существует у тензора антисимметричного по а индексам?
Задача 3.17. Определим квадратные и круглые скобки, содержащие некоторые наборы индексов, следующим образом:
vVh.....Vss^T 2 Уа*і -tV vIaI.....ap]s7f 1)яУаяі-%.
Суммы берутся по всем перестановкам л чисел 1,2,..., р, а коэффициент (— 1)я равен + 1 или — 1 в зависимости от того, четна или нечетна перестановка п. У величины V могут быть и другие индексы, не входящие в число р индексов а1( а2> • • • > ар> но введенные нами скобочные операции действуют лишь на явно выписан-
ные индексы. Индексы пь л2,лр означают те числа, в кото- ЗАДАЧИ
16
рые переходят 1,2р под действием перестановки я. Например, V(OilOi2) = у (Va,a, + VajGc1 )i
или, что то же,
Vaiv^i-(Vliv+ Vw).
а) Пусть F— антисимметричная, Т —симметричная и V —произвольная величины. Пользуясь приведенными выше определениями, ВЫЧИСЛИТЬ В ЯВНОМ виде Vtnv], /rCnv], F(HV), T^v], T1(HV),
^[a?vJ, ^(a?, v)>
б) Вывести следующие формулы:
V ((Ci1... ap)) = V (ar.. ар)! V [[aj ... ap]] = V [04 ... ap]!
