Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ограничений, налагаемых поверхностным натяжением, колебания происходят
около сферической формы с различными модами, описываемыми различными
сферическими гармониками. Однако (в приближении линейной теории) объем У
(t) не меняется ни в одной из этих мод, кроме одной, той, в которой
пузырек остается сферическим и только его радиус а колеблется около
невозмущенного значения а0. Для такой единственной моды возвращающая сила
1.6. Компактные области источников в общем случае
51
преобладает над силой поверхностного натяжения, что связано со
сжимаемостью газа. В уравновешивающем эту возвращающую силу инерционном
члене масса почти в точности соответствует жидкости с плотностью р0 в
обычном случае, когда плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с
плотностью жидкости.
При описании такой радиальной моды колебаний в качестве обобщенной
координаты удобно выбрать переменный радиус пузырька а (об использовании
обобщенных координат в линейных теориях колебаний см. учебники по
классической механике). Когда а совершает малые колебания около своей
равновесной величины й0, радиальная скорость а определяет местную
скорость жидкости (несжимаемой) в радиальном направлении на расстоянии г
от центра как aajjr-2. Кинетическая энергия таких движений жидкости (а
только ее мы и учитываем)
равна (1/2) (4яр0а2) а2. Здесь величина, заключенная в скобки,
представляет собой "обобщенную массу" для рассматриваемого движения.
Соответствующая потенциальная энергия вычисляется на основе
предположения, которое мы проверим позднее и которое состоит в том, что
пузырьки колеблются достаточно медленно для того, чтобы плотность газа в
них pg можно было считать практически постоянной, хотя и совершающей
малые колебания во времени относительно невозмущенного значения pg0.
Тогда относительное изменение разности pg будет равно относительному
изменению объема пузырька со знаком минус:
(pg pg0)/Pgo - 3 (а а0)/а0. (Ю7)
В силу уравнения (50) соответствующая потенциальная энергия на единицу
объема составляет
4 (Pg - Pgo)2 cgPio =:4 ре°се [3 (а~ а")/а<>]2, (Ю8)
что в объеме газа (4/3) яа(r) дает полную потенциальную энергию (1/2)
(12jtpg0c§a0) fa - a0]2. В последнем выражении величина, заключенная в
круглые скобки, является "обобщенной жесткостью" для рассматриваемого
движения. Может показаться, что изменения потенциальной энергии,
связанные с поверхностным натяжением Т (поверхностной энергией на единицу
площади), тоже важны, но это не так: соответствующий линейный член просто
смещает точку равновесия в точку с давление^, несколько превышающим
давление жидкости, а на обобщенную жесткость влияет только квадратичный
член, увеличивая ее
4*
52
1. Звуковые волны
на величину 8лТ, что для пузырьков в воде радиуса свыше 0,1 мм дает
поправку менее 1%.
В соответствии с общей теорией колебаний угловая частота моды колебаний
пузырьков, определяющая звук в дальнем поле, представляется как
/ Обобщенная жесткость \ 1/2_
01 \ Обобщенная масса j
3PS./P.>*/2 ¦ (W9)
Теперь мы убеждаемся в том, что из-за наличия множителя
(3pgo/p0) 1/2 частота со действительно мала по сравнению с харак-
терной частотой cg/a0 распространения возмущений плотности внутри
пузырька, так что предположение о том, что плотность стаза остается
приближенно постоянной, является допустимым. Условие акустической
компактности, т. е. условие малости соа0 шо сравнению с гораздо большей
скоростью звука с в жидкости, тем более удовлетворяется.
Для пузырьков воздуха в воде при 20 °С имеем cg = 340 м/с и Рцо/ро =
0,0013, что дает частоту
со/(2я) = (680 Гц см)/(2а0). (110)
Таким образом, при колебании пузырьков звук в дальнем поле приближается к
звуку, генерируемому точечным источником с частотой 680 Гц, деленной на
диаметр пузырька в сантиметрах; часто это вполне музыкальный звук!
Пульсации, однако, существенно затухают как вследствие теплопередачи от
газа к жидкости, приводящей к отклонениям изменений плотности от тех,
которые диктуются постоянством энтропии, так и в результате потерь
энергии, обусловленных самой генерируемой акустической мощностью.
Обычно движения воды, которые сопровождаются шумом, генерируют звук
посредством флуктуаций давления в потоке, вызывая пульсации пузырьков с
такими модами, которые, как мы видели, являются главными в дальнем поле
даже в тех случаях, когда имеются еще и различные моды колебаний формы
пузырьков. Отдельные пузырьки создают музыкальные звуки; совокупность
пузырьков, например, в бегущем потоке создает "плещущий" шум, включающий
спектр частот, связанный с распределением их размеров. В гидравлических
движениях часто содержатся пузырьки, механизмом возникновения которых
служит "кавитация", при которой давление в потоке становится достаточно
низким, так что растворенный в жидкости газ начинает выделяться или
жидкость начинает испаряться. Шум кавитационных течений включают не
только звуки, генерируемые
1.7. Компактные области источников с диполъными дальними полями 53
