Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
показывает также распределение количества движения жидкости на единицу
длины цилиндра.
46
1. Звуковые волны
Рис. 5. Распределение количества движения на единицу длины цилиндра
жидкости, создаваемого источником и стоком одинаковой напряженности,
расположенными на оси цилиндра (а). Складывая распределения (б),
аналогичные приведенному на рис. 4, но с противоположным знаком, получаем
суммарное распределение (в).
Распределение этого количества движения, однако, имеет весьма
своеобразный характер: большой отрицательный вклад в малой области между
источником и стоком, который обусловлен непосредственным течением из
источника в сток, компенсируется равным положительным вкладом,
распределенным по всей области ближнего поля источника. На рис. 5 видно,
что такое распределение получается как разность между распределением,
представленным на рис. 4, и точно таким же распределением, но сдвинутым в
центр стока. Оно имеет два разрыва: один -q (t) в стоке и другой +q (t) в
источнике.
В предельном случае малы?: I (как показывает рис. 5) отрицательное
количество движения между двумя источниками равно -lq (t), и, таким
образом, уравновешивающей его положительное количество движения,
распределенное/до всему ближ-
1.5. Акустический диполь
47
нему полю диполя, будет -\~lq (?). Диполь является предельным случаем
пары источник - сток при I 0, когда отрицательное количество движения
"теряется" в ближайшем поле между источником и стоком, а количество
движения в ближнем поле диполя складывается в положительную величину lq
(?).
Таким образом, любой механизм генерирования звука, который может
создавать дипольное поле, должен создавать количество движения lq (?),
так что на внешнюю жидкость он будет
действовать с силой, равной скорости изменения lq (t) этого количества
движения, которая обозначается через G (t) (формула (90)) и называется
напряженностью диполя. Иначе говоря, в поле диполя напряженности G (t)
должна существовать сила G (?), действующая на жидкости в направлении от
стока к источнику. И наоборот, мы увидим, что внешняя сила, действующая
на жидкость, порождает акустический диполь с напряженностью, равной этой
силе.
В приведенном выше примере сила G (t) направлена вдоль оси х, а связанное
с ней поле диполя представляется при помощи формулы (88):
р - Ро = - (д!дх) \G (t - r/c)/(inr)], (101)
но если бы сила была направлена по оси у или оси z, мы должны были бы в
формуле (101) вместо д/дх написать д!ду или dldz соответственно. В случае
действия силы общего вида G = (Gx, Gy, Gz) поле диполя представляется
суммой членов типа (101), связанных с каждой из составляющих, которые
дифференцируются по соответствующей координате; через дивергенцию его
можно записать так:
Р - Ро = - V-[G (? - r/c)/(4nr)]. (102)
Будем называть выражение (102) полем давления диполя с векторной
напряженностью G (?). В дальнем поле в соответствии с последним членом
(92) это выражение принимает вид
р - р0 = r-G (? - г/с)1 (4лх2с) (ЮЗ)
в точке с радиусом-вектором г = (х, у, z) и с выходной мощностью,
согласно (97), равной
P(t) - (G2 (?)/(12лр0с3): • (104)
Эти свойства диполя, связанные с наличием Силы, равной скорости изменения
количества движения внешней жидкости, а также свойства монополя (разд.
1.4), .связанные со скоростью изменения массового расхода до внешнюю
жидкость, будут в дальцейшеж'использоваться для объяснения -более'
сложных акустических явлений. ' "
48
1. Звуковые волны
1.6. Компактные области источников в общем случае
В качестве] примера рассмотрим порождение звука компактными областями
источников (т. е. областями, диаметр которых мал по сравнению с Х/(2я),
где X-характерная длина волны генерируемого звука) в общем случае.
Рассмотрим сначала небольшую группу (рис. 6) точечных источников,
заполняющих такую компактную область в случае, когда суммарная
напряженность не на много меньше напряженности отдельных источников.
Сравним поле давлений этой группы источников с полем давления одного
точечного источника, расположенного в некоторой центральной точке области
и имеющего напряженность, равную суммарной напряженности.
Рис. 6 показывает, что разность двух указанных полей давлений равна
просто сумме полей диполей, каждый из которых образован компактной парой,
включающей сток в центре и источник в одной из периферийных точек. Из
отношений (93) можно заключить, что поле диполя на расстояниях г, много
больших расстояния между компактной парой источников, мало по сравнению с
полем, генерируемым каждым из источников в отдельности. Отсюда следует,
что полная разность полей давлений, показанных на рис. 6, мала по
сравнению с полем давления одного источника на всех расстояниях г, много
больших диаметра области источников.
Здесь мы пользуемся предположением о том, что напряженность центрального
источника (сумма напряженностей источников в группе) сама не мала по
сравнению с напряженностью отдельных источников. Группа источников,
