Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
промежуточном случае двумерного распространения волн?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим генерирование звука
расположенными вдоль бесконечной прямой источниками с постоянным массовым
расходом h~xq (t) на единицу длины. Определим избыточное давление в
некоторой точке, кратчайшее расстояние от которой до рассматриваемой
прямой равно s. Заметим, что суммарная длина двух отрезков этой прямой,
расстояние от которых до рассматриваемой точки лежит между г и г А~ dr,
находится из простых тригонометрических соотношений и составляет 2г (г2 -
s2)-1/2 dr, если г > s, и таких отрезков не существует, если г < s.
Отсюда следует, что в уравнении (71), величину q (t - r/c) необходимо
заменить величиной
2г (г2 - s2)-1/2^-1 q (t - r/c) dr. Интегрируя от г = s до г = оо, в
результате получаем
оо
р - р0 = (2яА)-1 j (r2 - s2)~l/2q(t - r/c)dr. (75)
S
Видно, что это поле давления от источника в двумерном случае значительно
сложнее, чем поля, отвечающие выражениям (71) и (74) в трехмерном и
одномерном случаях соответственно. Экспериментально такое поле может быть
создано в жидкости; заключенной между двумя'параллельными плоскостями с
рас-
з*
36 1. Звуковые волны
Рис. 1. Звуковые импульсы, генерируемые положительной пульсацией
массового расхода (меняющегося со временем как (t2 + т2)-1, где т =
const) в одномерном (вверху), двумерном (в середине) и трехмерном (внизу)
случаях. Эти импульсы (изображенные в произвольном вертикальном масштабе)
пропорциональны расходу массы, его дробной производной порядка 1/2 и его
первой производной соответственно.
стоянием h между ними, когда вдоль прямой, перпендикулярной этим
плоскостям, происходит приток массы q (t) (например, при взрыве
проволочки).
Если массовый расход g (t) задается в виде одиночного импульса, как на
рис. 1, то уравнение (75) упрощается, когда sic велико по сравнению со
временем продолжительности импульса. В этом случае г2 - s2 можно
приближенно записать как 2s (г - s), так как можно показать, что при
значениях r/s, близких к единице, вклады в интеграл (75) от г значительно
больше, чем вклады от более высоких степеней г. Подставляя
1.4. Точечный источник
37
в (75) указанное выражение при больших s, получаем
р - Ро = (2К)-1 (cl(2ns)YI* (dldtfPq (t - sic), (76)
где производная дробного порядка (d/dt)1!2, как обычно, опре-
деляется равенством
t
(d/dt)il2q(t) = j q(T)[n(t-T)]-i/2dT. (77)
- ОО
В силу такой зависимости от производной порядка 1/2 функции q (t - si с)
двумерный случай занимает промежуточное положение между одно- и
трехмерным случаями (формулы (74) и (71)), и, как видно на рис. 1, форма
импульса, даваемая выражением (76), также носит промежуточный характер;
вместо чисто положительного импульса или получающегося из него
однократным дифференцированием импульса с крутым положительным выбросом,
за которым следует точно такой же отрицательный выброс, в двумерном
случае виден крутой положительный выброс и более широкий, но зато более
пологий отрицательный выброс с той же площадью. Дальнейшее обсуждение
распространения двумерных волн подобного типа отложим до гл. 2.
Тем временем мы продолжим сравнение между точечными источниками в
одномерном и трехмерном случаях, рассмотрев акустическую интенсивность и
выходную генерируемую мощность. В одномерном случае, когда справедлива
формула (74), интенсивность (48) с учетом (17) можно записать
как
(Р - Ро) и = (р - р0)2/(р0с) = cp'M'V (t - х/с), (78)
что соответствует мощности
Ср-Ч-У(*), (79)
генерируемой в источнике и переносимой со скоростью с вдоль трубы с
площадью поперечного сечения А.
В трехмерном случае уравнение (17) не обязательно должно удовлетворяться,
и вместо него мы имеем (переписав (70) через g (t)) равенство для
радиальной скорости
иТ = д(р/дг - (р0с)-1 [д (t - r/c) + (c/r) q (t - г/с)]/(4лг). (80)
Из соотношения (80) следует, что при г -оо сферические волны все точнее и
точнее удовлетворяют соотношению
ит = (р0с)-1 (Р - Ро), (81)
так что в этом смысле они становятся все более и более похожими на
плоские волны. Очевидно, что если в равенстве (80) вве-
38
1. Звуковые волны
сти со (отношение характерной величины q к характерной величине q), то
соотношение (81) будет хорошей аппроксимацией равенства (80) при больших
значениях со rlc. Для источников звука вообще (не только для точечных
источников) с характерной угловой частотой со мы будем использовать
термин "дальнее поле", имея в виду ту часть жидкости, для точек которой
расстояние г от источника велико по сравнению с с/со (или Х/(2л), где X -
характерная длина волны), и найдем (разд. 1.6), что в дальнем поле
соотношение для плоских волн (81) становится хорошим приближением.
В дальнем поле вектор интенсивности (54) направлен по радиусу от
источника и имеет величину
I = (poc)_1g2 (t - г/с)/(16л2г2), (82)
такую же, как если бы выходная мощность
Р (t) = ф (f)/(4np0c), (83)
генерируемая источником, переносилась от него со скоростью с, проходя с
