Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь область А содержит бесконечно удалённую точку и пусть W = f(z) однолистно отображает область D на А. Мы скажем, что отображение D на А конформно, если оно конформно всюду, кроме точки Z0, для которой имеем
Iim Jtt- = O.
Z^Z0 f(z)
Точка Z0 при нашем отображении переходит в бесконечно удалённую точку Д.
36 19 • Граничные значения. Остановимся ещё на одном понятии, необходимом в дальнейшем. Пусть дана область D с кусочно-гладкой границей у и пусть
W = /(Z)
— функция, реализующая конформное отображение D на некоторую область, или, общее,—произвольная аналитическая в D функция. Пусть z0 —точка у кратности, Si- одна из её линейных координат. Мы скажем, что f(z) в точке Si допускает граничное значение, если f(z) стремится к определённому пределу, когда z стремится к Z09 пробегая значения, лежащие на любой последовательности кривых [Ci) (см. п. 14 этой главы); мы будем называть этот предел граничным значением f(z) в точке Si (рис. 7).
Если f (z) допускает граничные значения в любой точке у, то эти граничные значения образуют однозначную функцию линейной координаты^:
W = <p(s).
Нетрудно показать, что функция ср (s) непрерывна относительно s. В самом деле, допустим от противного, что 9 (5) разрывна в некоторой точке s(0), тогда найдётся последовательность точек s(1), ... , s(n)
lim s<n> = s«0
n->0O
такая, что
j 9 ($(">) — (f ($(0)) I > а > 0,
где а— некоторое положительное число,. Построим теперь одну из линий С с концом в и настолько близкую к Yj чтобы при любом п на С нашлась точка zn такая, что
но тогда граничное значение f(z) при Z9 стремящемся к по С, будет отличаться от сp(st0)) больше, чем на а, что противоречит определению <p(sC°*).
Функцию W = f {z)y аналитическую в D и допускающую непрерывные граничные значения <p(s) в каждой точке y> мы будем называть непрерывной в замкнутой области D.
47 20. Основная задача и ее редукция. Имея произвольную аналитическую функцию, мы можем рассматривать конформные отображения,- осуществляемые этой функцией — каждая область D, в которой наша функция однолистна, конформно отображается на некоторую область, граница которой опре-' делится по границе D и заданной функции. Мы будем получать, таким образом, различные примеры конформных отображений — геометрические иллюстрации аналитических функций.
Однако, центральной является значительно более трудная обратная задача: в плоскостях z и w даны, соответственно, две области D и Д, требуется построить функцию, конформно отображающую D на Д.
Так как для решения этой задачи не существует достаточно простого алгоритма, то развитие теории конформных отображений идёт в следующих направлениях: 1) выясняются общие условия существования конформною отображения и его единственности; 2) определяются различные частные классы областей, конформные отображения которых можно осуществить при помощи комбинации элементарных функций; 3) с помощью общих свойств аналитических функций изучаются различные свойства конформных отображений в зависимости от вида отображаемых областей; 4) разрабатываются методы приближённых конформных отображений.
Введём прежде всего некоторые ограничения на области, конформные отображения которых мы будем рассматривать. Мы ограничимся случаем, наиболее важным с точки зрения приложений, когда каждая из областей односвязна и имеет кусочно-гладкую границу.
Приведём теперь основную теорему существования и единственности и непрерывности конформного отображения.
Основная теорема. Пусть D и Д — произвольные односвязные области с кусочно-гладкой границей, пусть z0—mo4Ka D1 W0-точка Д и 2тг>ср0>0. При этих условиях:
1°. Существует одно и только одно конформное отображение D на Д
<V = /(Z)
такое, что
/(*о) = ^01 arg/'(Z0) = T0-
2°. Если граница Д не имеет бесконечных ветвей, то f(z) допускает непрерывные граничные значения <p(s).
38 ? общем случае в любой, точке границы D непрерывна
і
или сама функция 9 (s), или величина, ей обратная, —r-p .
cP Is)
3°. Если границы D и Д не содержат бесконечных ветвей и обладают в каждой точке непрерывной (а, следовательно, и ограниченной) кривизной, то граничные значения cp(s) непрерывно дифференцируемы.
Доказательство теоремы существования и непрерывности предельных значений требует привлечения специального аппарата, выходящего за рамки данной книги, мы eio опускаем.
Опираясь только на теорему существования, докажем теорему единственности.
Рассмотрим сначала частный случай, когда D и Д суть единичные круги:
Md, М<і,
причём Z0 = W0 = O, <р0 = 0. Пусть w = f(z), /(0) = 0, /' (0) > 0 даёт искомое конформное отображение | z | < 1 на I WI < 1; покажем, что f(z) = z. В самом деле, по условию при |z|<l имеем |/(z)|<l, но тогда в силу леммы Шварца
I/(S)I<M.
Применяя то же рассуждение к функции, обратной / (z), мы получим
1/(2) I > N1.
В силу той же леммы Шварца
f(z) = e'*z,
а так как по условию /'(0) = еіа>0, то, следовательно, а = 0 и / (z)=zt
Перейдём к доказательству общего случая теоремы: допустим от противного, что в условиях теоремы существуют два различные конформные отображения D на Д:
