Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если функция f(s) тождественно исчезает, то говорят об однородном интегральном уравнении-, в том случае, если последнее обладает, помимо тривиального решения ср = 0, еще другими решениями tp, то это нетривиальное решение можно помножить на постоянный множитель, и следовательно, его можно также полагать нормированным.
Оановременно с различными решениями <pj, ips, ... однородного уравнения являются также решениями все линейные комбинации C1^1 -j-cJtPs 4" • • ¦ Несколько таких линейно независимых решений мы поэтому можем и будем всегда представлять себе нормированными и взаимно ортогональными, ибо в противном случае мы можем их подвергнуть процессу ортогонализации, описанному в главе ii, § 1, без того, чтобы они перестали быть решениями. Такое значение для которого однородное интегральное уравнений имеет отличные от нуля решения, мы будем называть собственным значением ядра, а соответствующие решения <р,, <р2, „.., которые будем предполагать взаимно ортогональными,— Предварительные соображение
105
собственными или фундаментальными функциями ядра, принадлежащими собственному значению Число их ограничено. В самом деле, согласно неравенству Бесселя (гл. II, § 1), примененному к-ядру K(s,t) и ортогональным нормированным функциям <р,,(р2,____ (рА,
I2 ^ К (s, tf dt ^ X2 ? [J K(s, t) Ъ (t) d/] = ? Ъ (s)\
I=I /=і
а следовательно, интегрируя по s:
X2 JJ К (s/O2 ds dt Ss А,
т. е. для Л получается верхняя грань. Можно сказать: всякое собственное значение имеет конечную кратность (т. е. конечное число линейно независимых решений).
Наше интегральное уравнение представляет собою, как это выяснится в § 6, естественное обобщение той проблемы линейной алгебры, которую мы рассмотрели в гл. I, § 2. Его значение для математического анализа состоит в том, между прочим, что многие иначе разрозненные соображения благодаря ему объединяются общей точкой зрения.
2.,Истокообразно представленные функции. Член, типичный для интегрального уравнения (1), дается интегралом вида:
g[s)=^K(s,t)h{tydL (2)
О функции g, заданной равенством (2) при посредстве функции h и ядра К, говорят, что" она представлена истокообразно.
Если h(t) — кусочно-непрерывна, то функция g(s) наверно непрерывна. Но о ней можно сказать еще более: если j h(t)% dts^M, гдр M
означает определенное число, тQ функции, представленные равенством, (2), равностепенно непрерывны (gleichgradig stetig) в своей совокупности, т. е. для всякого положительного числа є существует, независимо от специального вида функции h (/), положительное число Ъ (е) такого рода, что из неравенства | ij | § вытекает соотношение
(ср. гл. II, § 2). Действительно, из неравенства Шварца следует, что [g (s + Ч)- g (s)]2 ^ M j [К(s 4- jj, t) - К(s, О]2 dt,
откуда, в силу равномерной непрерывности ядра, непосредственно поручается наше утверждение; ибо независимо от t, имеет место неравенство:
с произвольно малым о, коль скоро T1 достаточно мало. 106
Теория линейных интегральных уравнений
Гл. III
Далее, если функции Kn (s,t) равномерно стремятся к пределу
Iim Kn(s,t)=K(s, і),
я-» СО
то при заданной h(t) справедливо соотношение:
g(s)= lim f K„(s,t)h(t)dt n-*COj
в смысле равномерной сходимости относительно s, так как предельный переход можно выполнить под знаком интеграла. Таким образом непосредственно следует, что все функции вида:
Sn И = J)h W dt, g{s) = j" K(s, t) h (t) dt
равностепенно непрерывны для всех рассматриваемых функций h (t), если только Jhzdt ^ М. Точно так же все этн функции равномерно ограничены, т. е. все они по абсолютной величине лежат ниже одной общей грани, что непосредственно следует из неравенства Шварца:
?„(s)2 <M^[Kn(S1I)Yt dt и соответственно j* [tf («,*)]*<«.
3. Выродившиеся ядра. Ядро, которое можно представить
в виде конечной суммы произведений функции от S на функцию от t:
р
A (s, t) = ^al(S) P1P), (3)
i=i
мы будем называть выродившимся ядром. Можно прн этом допустить, что функции CLi(S), а также функции ?f(?) линейно независимы между собою, ибо в противном случае можно было бы одни из этих функций выразить линейно через другие и таким образом удалось бы представить ядро A (s, t) в виде суммы меньше чем р произведений вышеуказанного типа. Из теоремы о возможности равномерно аппроксимировать непрерывную функцию К (s, t) полиномами (ср. гл. II, § 4) следует, что ядрэ K(s, t) можио, как угодно точно, равномерно аппроксимировать выродившимися ядрами, так как всякий полином относительно s и t представляет собою, очевидно, выродившееся ядро.
Выродившееся ядро допускает следующее преобразование в другую, часто удобную форму. Представим себе, ЧТО 2P ФУНКЦИЙ OT Slffl1 (s), аг (s), ... , ap(s); ?, (s), ?, (s), ..., ?p(s) выражены линейно через систему
нормированных ортогональных функций (O1 (s), ю2 (s),___, в>д (s), чего
всегда можно достигнуть ортогонализацией. заданных функций. Тогда ядро A (s, t) принимает форму двойной суммы:
9
A (s,t) =^iCyal(S) (o^t). (4)
U= і Теоремы Фредгельма для выродившегося ядра
