Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. IIl
Так как теоремы Фредгольма справедливы для выродившихся ядер,, то однородные транспонированные интегральные уравнения
a (S)=x^tf1s) X (t) dt (19)
тоже имеют для достаточно больших значений я ровно г линейно независимых решений %ln(s)(i= 1,2, ... , г), которые можно выбрать нормированными и взаимно ортогональными. Но выродившиеся ядра A'n(t, s) равномерно сходятся к ядру K(t, s), а потому мы и для него получаем г взаимно ортогональных собственных функций (s), ^2 (s), ... , совершая, на основании нашего принципа. сходимости, предельный переход при помощи равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных функ-ций yin(s). Больше, чем г независимых решений транспонированное интегральное уравнение
X(S)-X M JtW я, (20)
однако, имет^ не может, ибо в противном случае отсюда обратно вытекало бы существование больше чем г решений уравнения (5).
'Заметим, наконец, что для разрешимости интегрального уравнения (1) в случае 0 наверно необходимо выполнение условий:
(/. Ъ) = j/(*) Xi С) ds = 0 (/ = 1,2,...,/-), (21)
что непосредствено обнаруживается, если помножи'гь уравнение (1) на X1(S), проинтегрировать, а затем справа изменить порядок интегрирования^ принимая во внимание уравнение (20). Для того чтобы убедиться в достаточности условий (21), ограничимся, поскольку это необходимо, такими Указателями п, для которых Hm ц n(s) ~Xt(s) ===
= 1,2, г) и при помощи чисел ttя = (/,Хі,„), крторые в силу уравнения (21) сходятся к нулю с возрастанием л,'построим функции
г
fn M *=/(«)-E6/, пЪ,п W-1=1
Имеем:
(fn, XiJ = O (/ = 1,2,... ,г).
Следовательно, интегральное уравнение
A(S) =?(*)->¦ t) у (t) dt (22)
Наверно имеет решение рп (s), ортогональное к функциям
<М«),Фї(«), ... ,<Ms).
так как для выродившегося ядра теоремы Фредгольма справедливы. В отношении этих решений pn(s) мы д<*лжны иметь случай I, ибо j § 4
Симметрические ядра и их собственные значения 126
в противном случае, они повлекли бы за собой существование решения уравнения (5), ортогонального к функциям ф, (s), ф2 ($),..'. , ф^), что по предположению невозможно. Следовательно, мы «ожем опять, на основании принципа сходимости, выполнить предельный переход в интегральном уравнении и в силу, того, что fn (s) => f(s), вывести заключение о разрешимости уравнения (1). Этим самым полностью доказаны теоремы Фредгольма для нашего ядра K(s, t).
Существуют ли вообще случаи, когда однородное уравнение имеет нетривиальные решения — на этот вопрос будет в дальнейшем дан ответ в отношении симметрических ядер.
§ 4. Симметрические ядра и их собственньіє значения.
Так же, как у билинейных форм в гл. I, и у интегральных уравнений тот случай, когда ядро K(s,t) симметрично, т. е. удовлетворяет соотношению:
может быть исследован подробнее.
В этом случае интегральное уравнение совпадает со своим транспонированным. По отношению к такого рода симметричному - интегральному уравнению мы прежде всего поставим себе вопрос, для каких значений параметра X=X1- однородное интегральное уравнение (5) имеет нетривиальное (нормированное) решение. Эти значения параметра называются, как уже упомянуто, собственными значениями, а соответствующие функции — собственными или фундаментальными функциями ядра К (s, і). Аналогично рассуждениям гл. !, § 3, докажем следующую теорему:
Всякое симметрическое, неисчезающее тождественно, непрерывное ядро имеет собственные значения и фундаментальные функции, которые образуют бесконечное и именно счётное множество в том и только в том случае, если ядро не вырождается. Все собственные значения действительного симметрического ядра сами действительны.
1. Существование собственного значения у симметрического ядра. Докажем прежде всего существование одного собственного значения. Для этой цели рассмотрим яквадратичную интегральную форму"
которая играет здесь роль квадратичной формы гл. I, причем <р означает какую-нибудь функцию, непрерывную или кусочно-непрерывную в основной области. В силу, неравенства Шварца имеем-
Следовательно, J(<р, <р) ограничено по абсолютной величине, если потребовать, чтобы функция <р удовлетворяла соотношению:
(<Р,<Р) = 1. (25)
Интегральная форма обращается в нуль для всех допустимых функций
K(s,t) = K(t, s),
(23)
(24) 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
в том и только в том случае, если само ядро тождественно исчезает. В самом деле, введем „билинейную интегральную-форму"
J(<р, ф) = J(ф, <р) = j" j K(s,t) $ (S) ф (і) ds dt (26)
и заметим, что справедливо преобразование:
¦ДТ + Ф^ + Ф) = ^.?) + 2-7^ Ф)-М(Ф,Ф). (27)
Тогда, прежде всего, из тождественного исчезания' квадратичной вытекает также исчезание и билинейной интегральной формы. Подставив
в (26) в частности ф (t) = J K(s,t) tp (s) ds, получим
и следовательно, JK(s, t)y(s)ds = 0 для произвольной функции tp(s);
если выбрать <р (s) равной К(s, /,) при определенном значении t, то получим требуемое тождество К (s, t) = 0.
Ядро, обладающее тем свойством, что 7(<р, и) может принимать только положительные либо только отрицательные значения (когда функция f не равна тождественно нулю), называется положительно определенным, либо, соответственно, отрицательно определенным. В противном случае ядро называется неопределенным.
