Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1879; Oeuvres, т. 1, стр. 428—437, Paris 1898. §9 Примеры "Других ортогональных систем 8t
следует рекуррентная формула:
Ln+1(x)-(2n+[-x)L„(x)+H2Ltt^(X) = O (я sb» 1). (33) Эта формула и вытекающая из соотношения
формула
L,n(x)-nL'n__l'(x) = -nLn_l(x) (34)
приводят к формуле:
XVn(X) = HLn(X)-H2Ln^(X) (bs3i) (35)
и к однородному линейному диференциальному уравнению второго порядка:
*у"+(1 — х) у'+пУ—0 (36)
для полинома Лагерра Ln(x). Свойство ортогональности
со
^e-*Ln(X) Lm(x) dx = 0 («>т)
и
выводится из равенства: со со со
J B-xXhLn (X) dx=\^xk (xne~x)dx = — k j Xk^ iL (х"е~х) dx --
0 0 о
со
Г Idn-2
=k(k-\) I Xk'2 -^z-2'(x"e-x)dx^= ...
о; со
Г dn~k
...=(— \)bk\ \ —^(xne~x)dx = Q при в>/е. о
Для нормирования надо вычислить интеграл: оо оо со
j e~xL\(x)dx= |*(— Цпхп~ (x"e~x)dx = п\ j xne~xdx = (n\)2-
о
функции
е 2 L(X) ?,(*) =--Tu (V = O1I,...)
представляют, следовательно, ортогональную нормированную систему 1J.
О И в данном случае можно было бы легко вывести свойства ортогональности функций <р., при помощи производящей функции. 88
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
6. Полнота системы полиномов Лагерра и Эрмита. Вопрос о полноте системы функций Лагерра или функций Эрмита требует особого рассмотрения, так как до сих пор мы доказывали полноту системы полиномов и т. д. только для конечных интервалов. Систему функций, заданных в интервале 0 =^ х =^ со, мы будем называть полной системой, если при помощи линейных комбинаций этих функций можно с произвольной точностью аппроксимировать в среднем любую кусочно-
CO
непрерывную функцию /(л), для которой' существует интеграл \f2(x)jrfx.
о
Чтобы доказать г) полноту системы ортогональных функций Лагерра, умножаем обе части тождества
1 _ ? tn
о
X
иа е 2 и получаем таким образом соответствующее тождество для ортогональных функций Лагерра
X
а именно:
g(X, V=J^je-со
Бесконечный ряд ^ t"(pn (х) при I 11 < 1 сходится и в среднем к про-
п=0
изводящей функции g(x,t). Это утверждение непосредственно доказывается путем преобразования интеграла:
Cn , "
J [g(x, <) - ? t^n Wl2 dx = Г=Т2 - Et2"'
о
n=0
причем мы пользуемся соотношениями:
со
1
I
о
со
J
о
g* (*, t)dx-.
I — /2' g(x, t) <tn(x) dx = l«.
1
Так как выражение a = ——- принимает все значения, заключающиеся между нулем и бесконечностью, когда t пробегает значения от
') Пользуюсь личным сообщением И. Неймана (J. v. Neumann). §9 Примеры "Других ортогональных систем
8t
— 1 до -J- 1, то можно с помощью ортогональных функций Лагерра аппроксимировать в среднем с произвольной точностью любую функцию е~ах, где 0<а<со в интервале 0<:лг<[со. Пусть функция f{x) кусочно-непрерывна в интервале ОS^л;<со, и пусть квадрат этой функции интегрируем в пределах от 0 до со. Строим вспомогательную функцию Zr(Jt), непрерывную в интервале 0=^лг<со и удовлетворяющую следующим требованиям:
со
1°. ?[/(*)-*(*)]'
о
где ? — произвольно малое положительное число,
2°. F(X) = O при х^А,
где A = A(S) — достаточно большое число 1J. Полагаем далее с. = е~х, тогда F(x) переходит в непрерывную функцию <р (S) от S в интервале О S^ 1, которая при 0 <: S е~А равна нулю. По теореме Вейерштрасса
можно равномерно аппроксимировать с помощью полиномов от S не-
<р(?)
прерывную в интервале 0 sg 5 ^ 1 функцию —, следовательно, существует такой полином O11-J- ... ~\-ап^.пу что і
1^(5)-0,5-... -вД-]»j<е.
о
Отсюда вытекает возможность аппроксимирования в среднем функции F(x) в интервале О при помощи выражений вида:
aje~x -J- аге~2х -J-___-J- а^~пх
и, следовательно, на основании ранее доказанного возможность аппроксимирования в среднем функции Z7(Jt) с помощью ортогональных функций Лагерра. Тем самым доказана возможность аппроксимирования в среднем данной кусочно-непрерывной функции f(x). Этому эквивалентно утверждение, что имеет место условие полноты:
со f YlCl=U1(X)ClX,
V=O J
где
OO
Cv =
о
коэфициенты разложения.
Совершенно аналогичным образом доказывается полнота системы ортогональных функций Эрмита.
') См. примечание к этой странице в конце кннги. (Прим. перее.) 90
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
§ 10. Дополнения и задачи ко второй главе.
1. Решение Гурвица для изо пер и метри ческой задачи. Изопериметрической задачей называют задачу о нахождении среди всевозможных замкнутых плоских кривых данной длины той, которая охватывает наибольшую площадь. Как известно, решением является окружность; доказательство проведем, следуя Гурвицу (Hurwitz)1JH огра ничиваясь кусочно-гладкими кривыми, следующим образом. Пусть
X = AT(s), y—y{s), 0<s<z.
есть параметрическое выражение непрерывной, замкнутой, кусочно-гладкой кривой, имеющей длину L и заключающей внутри себя площадь F, причем параметром является длина дуги s. Введем вместо ,s в качестве
, 2 us
параметра пропорциональную ей величину t = -j- , которая изменяется
