Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
/A1 0 ... 0 0\ /0 A2 ... 0 0 \
U
\0 о ...QAh/
где A1, A2, ... , Ah в свою Очередь являются матрицами, средн которых могут оказаться матрицы, состоящие только из одного элемента, а именно /4V представляет матрицу порядка ?v:
/г, 0 0 ... 0 0\ /1 г, 0 ... О 0 \ ^=J Q,1 г„...0 0 .
\0 0 0 ... 1 гJ
9. Спектр унитарной матрицы. Докажем, что спектр унитарной матрицы лежит на окружности радиуса 1.
Для доказательства заметим, что все элементы унитарной матрицы по абсолютному значению не больше единицы, а потому абсолютные значения коэфициентов характеристических уравнений всех унитарных матриц и-го порядка меньше некоторой грани, не зависящей от частного вида матрицы. Так как первый и последний коэфициенты характеристического уравнения по абсолютному значению равны единице, то IO
Алгебра линейных преобразований Гл. I
тем самым доказано существование независящих от частного вида матрицы верхней и положительной нижней грани для абсолютных значений характеристических чисел, С другой стороны, все степени Am унитарной матрицы являются унитарными, а их характеристическими числами являются /я-е степени характеристических чисел матрицы А, Эти степени и обратные им величины могут только в том случае оставаться по абсолютному значению меньше некоторой грани, не зависящей от т, если абсолютное значение X1 равно единице.
Другой метод доказательства, который может быть распространен и на бесконечные матрицы, получается путем изучения сходимости ряда Неймйна для (Е— XA)"1.
В самом деле, ряд
(?• —L4)'1 = ? + ХД + XM2 + M+.,. ,
где А — унитарная матрица, непременно сходится, пока |Х|<[1, так как элементы матрицы Am все по абсолютному значению не превосходят единицы, и потому для элементов, стоящих в правой части, геометрический ряд является' мажорантой. Таким образом нули | E — ХЛ | не могут лежать внутри круга радиуса 1. С другой стороны, ввиду того, что AA1 = E, имеем:
(Я-ХЛ)'і^-уЛ' ^Е+І-Л' + ^2+...) ,
геометрический ряд в правой части сходится, если
1 I^i
-г- < 1, так как к I
E — XA I не могут'''
и A1 есть унитарная матрица. Вместе с тем нули лежать и вне круга радиуса 1. Следовательно, эти нули должны лежать на окружности радиуса 1, как мы и утверждали.
Литература к главе I.
Учебники.
Kowalewski G., Einfuhrung in die Determinantentheorie, Leipzig 1909.
Bocher M.. Einfuhrung in die hohere Algebra, Leipzig und Berlin 1910.
(Русский перевод. Бохер, Введение в высшую алгебру, ГТТИ, 1933 г.)
Монографии и статьи.
Hilbert D., Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen-Integralgleichungen (в особенности первый и четвертый отдел). Leipzig und Berlin 1912.
Fischer E, Ueber quadratische Formen mit reellen Koeffizienten, Monatsh. f. Math, u. Phys., т. 16, стр. 234—249, 1905. Там, пожалуй, впервые указано максимально-минимальное свойство собственных значений.
Courant R., Zur Theorie der kleinen Schwingungen, Ztschr. f. angew. Math, и Mech., т. 2, стр. 278—285, 1922.
Wintrier A., Spgktrgltheorle der unendlichen Matrizen, Leipzig 1929, Глава II.
Задача о разложении в ряд произвольных функций.
Многие из соотношений, рассмотренных в предыдущей главе, находят далеко идущую аналогию, если вместо векторов в и-мерном пространстве рассматривать функции от одной или многих переменных, определенные в данной основной области Gt Так, например, тому факту, что в пространстве п измерений всякий вектор может быть линейно представлен с помощью п произвольно выбранных независимых векторов, соответствует задача о выражении более или менее произвольно взятой функции, определенной в основной области G, в виде линейной комбинации заданных функций. (Множество заданных функций должно быть бесконечным, в чем мы непосредственно убедимся в дальнейшем.) Мы говорим тогда о задаче разложения произвольно взятой функции по заданной системе функций.
B настоящей главе мы рассмотрим с общей точки зрения этот вопрос, встречающийся в самых разнообразных формах в задачах математической физики.
При этом мы ограничиваемся кусочно-непрерывными функциями, т. е. такими функциями, для которых основная область G может быть разбита на конечное число частичных областей так, чтобы функция внутри каждой из них была непрерывна и стремилась при произвольном приближении изнутри к границе частичной области к определенному конечному пределу. Для более удобной записи мы сначала будем предполагать, что мы имеем дело с функциями только от одного переменного х, основной областью G которых является конечный отрезок оси лг.
Если речь будет итти о функциях от многих переменных, например* от двух переменных хну, то мы будем предполагать, что основная область G ограничена конечным числом дуг кривых, с непрерывно вращающейся касательной. Когда мы будем считать точки границы принадлежащими основной области, то мы будем говорить о „замкнутой области", если только это не вытекает из самого текста.
Далее, мы часто будем предполагать относительно рассматриваемых функций, что они кусочно-гладкие т. е. что они кусочно-непрерывны и имеют кусочно-непрерывные первые производные. Мы предполагаем, что наши функции имеют действительные значения E том случае, когда fie оговорено противоположное. 42
