Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема выражает для множеств непрерывных функций нечто подобное тому, что выражает принцип предельных точек Вейерштрасса для точечных множеств, и тем самым выполняется предыдущее требование.
Для доказательства рассмотрим счетное множество точек X1, X2,..., которые лежат повсюду плотно в интервале, например множество, получающееся неограниченным последовательным делением пополам интервала и образующихся при этом частичных интервалов. В множестве значений функций в точке X1 существует на основании принципа предельных точек
О См., однако § 10, п. 11.
2) Впрочем, достаточно предположить ограниченность последовательности функций в одной единственной точке области О; оґсюда в силу равностепенной непрерывности следует уже равномерная ограниченность во всей области G.
f(Xs)-Z(X1) §2
Принцип предельных точек в функциональном пространстве
53
Вейерштрасга сходящаяся подпоследовательность, следовательно из множества всех данных функций можно выбрать последовательность неограниченного числа функций A1 (х), а2 (х),... так, чтобы значения этих функций в точке X1 образовали сходящуюся последовательность. Из этой последовательности можно таким же путем выделить подпоследовательность функций Ьл (х), b.j (х),..., для которой значения функций и в точке, X2 представляют сходящуюся последовательность, и т. д. Теперь ра&мотрим „диагональную последовательность" a1(x) = q1(x), b2(x)=* q2(x),... всех полученных таким образом последовательностей функций, мы утверждаем, что она обладает свойством равномерной сходимости во всем интервале.
Чтобы доказать это, задаем произвольно малое положительное число є и делим интервал a ^x ^b с помощью определенного достаточно большого числа M точек X1, х2,..., хм из нашего множества точек XvX2,.., на столь мелкие части, что каждой точке х из данного интеграла должна соответствовать точка xh (h < М), для которой \х — хЛ| S (s), где і (є) имеет значение, указанное в условии. Затем выбираем зависящее от ? число N=N (є) настолько большим, чтобы при m^>N и n~^>N имело место в точке xh (Л = 1, 2,..., М) соотношение:
\4m(xh)—qn(xh)\<s.
В силу равностепенной непрерывности имеем для соответствующего h M соотношения:
\ЯшАх)-Ят (xh) I <є, Iя„ (*)—Чп WK5.
следовательно, при ri>N и m^>N
I Ят (X)-Яп Wl <36,
что доказывает равномерную сходимость последовательности функций q,(x), q2 (х),... для всех значений х из интервала ass^x^b. Непрерывность предельной функции q(x) является тогда следствием равномерной сходимости. Заметим, между прочим, что из предыдущего рассуждения следует, что всякая сходящаяся подпоследовательность схо-дитсц равномерно.
Множество равностепенно непрерывных функций обладает еще следующими свойствами. Если последовательность функций /, (х). /2 (*), L (х),... принадлежит такого рода множеству и если Iim Nfn = О,
я-»00
то и Iim /„=0, и притом сходимость будет равномерной. Если же я—»00
Iim N(fn—/т) = 0, то существует непрерывная функция f(x), к я—»00 я»-»00
которой равномерно Cxodumci наша последовательность, т. е. f (X) = Ymfn(X). я—»00
Чтобы доказать первую часть, этого утверждения, допустим, что для точки Ar = X0 не имеет места соотношение iim Zn(Jf0) = 0S тогда су-
b-* oo
ществуют произвольно большие значения п, для которых /я8 (X0) ^>2 о? 54
Задача о разложении в ряд произвольный; функций
Гл. II
где 2а2 — положительная грань. В силу равностепенной непрерывности функций f„(x) имеется определенный интервал, заключающий точку лг0, ширины ?, в котором для указанных выше значений п справедливо неравенство: fn2 а2. Следовательно, для этих значений иЛУя^>8а2, что противоречит нашему условию. Подобным же образом можно доказать и вторую часть утверждения, что предоставляем сделать читателю.
Множество равностепенно непрерывных функций с ограниченными нормами обладает также следующим свойством, которое мы будем называть свойством гладкости ') множества. Пусть г — целое положительное число, а сЛ,с2,сг—какие угодно ' числа, абсолютные значения которых остаются меньше некоторой определенной грани, например меньше единицы, тогда существует зависящее только от положительного числа S и стремящееся одновременно сек нулю число Ь (є)', такое, что из соотношения Ar (c1/"., с2/2 ... crfr) є следует соотношение:
ki /і+с2 /, + -. f<V/r|<«.
если /j, f2,...,fr— какие угодно г функций из нашего множества.
Доказательство непосредственно получается из ¦ предыдущего, если заметить, что множество наших функций сохраняет свойство равностепенной непрерывности, если его расширить путем( присоединения всех линейных комбинаций C-J1 jT c2f2-\-... -}- crtr, где г—фиксированное число, a IC11 ограничены.
Условие гладкости последовательности функций /,, f2, ... можно
также выразить в следующей форме: последовательность функций/,, /2,___
должна обладать тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность.
Из принципа предельных точек можно непосредственно получить следующую несколько более общую теорему: пусть
