Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Одновременное преобразование двух квадратичных форм к каноническому виду. Преобразование к главным осям является частным случаем более общей задачи (которая сводится к предыдущей, но может быть столь же просто изучена и непосред-
3 Курант-Гильберт, Алгёбра линєййьіі преобразований
ственно) об одновременном преобразовании двух заданных квадратичных форм:
Ii
К(х, X).= 2 kPgxPxГ р, ?=1 п
H (Xi X)= Y hPgxPxI р, ?=1
одна из которых, скажем Н(х> х), определенная положительная, с помощью линейного преобразования
п
xP=LtPgy*
?=1
в выражения, содержащие только квадраты переменных:
л
К(Х, X)= Lby2P'
p=1 я
fP p=1
И(Xi *) = ? JJpV2 р=1
При этом коэфициенты j]p положительной формы И . могут быть
X
сделаны равными -J-1. Отношения — = Pp мы назовем характеристиче-1
скими числами, числа —=Х„—собственными значениями формы Jf (х, х) Pp
по отношению К И(Xi х).
Требуется непосредственно провести теорию преобразования и доказать следующее свойство характеристических чисел.
При P1 ... S= р„ число рй является наименьшим значением, ко-
торое может иметь максимум функции ^^ при добавочных
условиях-.
п
LaVxPs= 0 (v=l,..., А— 1). р=1
если рассматривать этот максимум как функцию параметров ovp.
Для нахождения искомого преобразования можно искать сперва максимум х\ при условии H (Xi х) = 1; пусть этот максимум дости-Н(х, х) .
гается npif хр = Ilp (/7 = 1, ... , и). Затем присоединяем дальнейшее добавочное условие:
L ЬрЛр*а=° р, ?=1 §5
Дополнения и задачи к первой главе
35
и т. д. Характеристические числа рр являются корнями уравнения:
kIl-PhU kIZ- PhM ••• kln —Ph\n kZl PkZl kZZ P^22 • • • k2n PkZn
:0.
Ki — Phni Kz—pKz - Kn— PKn
Это уравнение можно получить также как условие разрешимости однородной системы уравнений:
п
? (feV-P Hlj) Xf=O.
7=1
Системы значений х-, соответствующие отдельным характеристическим числам, дают после соответствующего нормирования компоненты „собственных векторов", т. е. коэфициенты искомого преобразования.
4. Билинейные и квадратичные формы от бесконечно большого числа переменных. Наши теории остаются справедливыми и в том случае, когда число переменных неограниченно возрастает, если только при этом сделать некоторые предположения, во-первых, относительно коэфициентов билинейных или квадратичных форм, например, допустить, что'сумма их квадратов сходится, а во-вторых, предполагать также сходимость суммы квадратов входящих переменных. Эта теория форм от бесконечно большого числа переменных, разработанная Гильбертом, может быть непосредственно применена к многочисленным проблемам анализа. Однако в этих проблемах мы можем быстрее притти к цели, если пойдем более прямым путем, соответствующим алгебраическому векторному и тензорному исчислению.
5. Бесконечно малые линейные преобразования. Бесконечно малым линейным преобразованием называют преобразование с матрицей:
1+єзп єа12 ...tan
Еа21 1 + ?0Г2! • • - єа2п
A = E +(6?) =
?Сіп2 ... 1 + єа,
ігп
причем є есть бесконечно малая величина первого порядка, т. е. такая величина, высшими степенями которой можно в рассматриваемом случае пренебречь по сравнению с низшими. Произведение двух бесконечно малых преобразований с матрицами A = Eга,к) и Z? = Я-j-(s?ifc) имеет матрицу C = AB = E(гаibe?/ft). Отсюда следует:
Бесконечно малые преобразования обладают свойством переместительности.
Далее:
Матрицей, обратной матрице А = Е-\-(S7A), является А'1 = ~Е—{saiky, определитель матрицы A = ?-)- (sa,ft) равен 1 + є (ап + + а22 + ... +а„я).
Если бесконеч ю малое преобразование ортогонально, то из условия AA1=E, где А' — транспонированная матрица, следует соотношение 3* IO
Алгебра линейных преобразований
Гл. I
aik-\- яы = 0, т. е. необходимым и достаточным условием ортогональности бесконечно малого преобразования является требование, чтобы матрица его, если отнять от нее матрицу Е, была косо симметрической.
Бесконечно малое преобразование общего вида' C= E (еуй) можно с помощью величин:
aIk — ~2 (ї» Yы)>
представить в виде произведения ортогонального преобразования с матрицей A = E -f- {ialk) и симметрического преобразования с матрицей B = E + (е?й).
Симметрическое, хотя бы и не бесконечно малое преобразование Xi=^Pl sikxk с матрицей S=(sik) геометрически означает растяжение
в п взаимно перпендикулярных направлениях. В самом деле, введем новые переменные U1 и V1 при помощи преобразования к главным осям квадратичной формы S(x, л:), так что
п п
і /«і
тогда уравнения примут вид:
Vl=XlUi,
что аналитически выражает „неравномерное" растяжение, отнесенное к главным осям. Отношение приращения объема к первоначальному объему, „объемное расширение", выражается, очевидно, разностью X1...Xn—1, вместо которой мы можем также писать I sik I — 1. Если в частности преобразование бесконечно малое, т. е. (sjk) = ?+ то
X1... X— I = B (Pu'+. .. + Pnfl).
Так как ортогональное преобразование означает вращение, то можно резюмируя сказать:
