Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
V (O) = V (тг) = 0.
Стало быть, функцию v (х). следует, определить из диференциального уравнения:
г/'+ Iv = O (13) 272
Проблемы колебаний
Гл. V
и- краевых условий
ZZ(O) = W(TT) = O. (13*)
Эти требования ие могут выполняться при произвольных значениях постоянной X. Напротив, из вида qoiuero решения диференциального уравнения (13): сле х -f- cze к * вытекает, что краевые условия выпол-,нимы в том и только в том случае, если X = п2 есть квадрат целого числа я« Соответствующими решениями являются функции vn = sin пх. Числа 1, 22, З2, ... и функции sin X, sin 2х, ... мы будем называть соответственно собственными значениями и собственными функциями нашей задачи, а самую задачу — „задачей о собственных значенияхопределенной, диференциальиым уравнением (13) и краевыми условиями (13').
Для g(t) получается вообще g = a cus nt-{- b siii nt с произвольными постоянными а, Ь. Таким образом для всякого положительного целого значения п имеем решение Диференциального уравнения (1.2) в следующем виде:
sin пх (ап cos nt -J- bn sin nt),
представленные в такой форме синусоидальные или гармонические движения называются Собственными колебаниями струны; числа п = Vn— это соответствующие, собственные частоты. Более общие решения MCWKHO получить в следующей форме:
U = E sin ПХ (fln'COS nt -J- bn sin nt)s
n
причем сумма может содержать как конечное, так и бесконечно большое число членов; в последнем случае, конечно, определенно предполагается, что ряд равномерно сходится и допускает двукратное почленное диференцирование по каждой из двух переменных.
Возникает вопрос, можно ли подходящим, выбором коэфициеитов. ап, Ьп приспособить решение к произвольно заданному при помоїщ функций и (JftO) = ср (х), Ui(Xfi) = ф (а:) начальному состоянию, т. е. выбрать коэфициенты так, чтобы выполнялась равенства: 00. со
f (х) ~ E ап Sin ПХ' Ф (х) = E nK sin пх-
п = 1 .п = I
Но теорема о разложении в теории рядов Фурье утверждает, что вышеприведенные разложения возможны при надлежащем определении постоянных ап, bn. В таком случае ряд, образованный с помощью определенных таким образом коэфициеитов, действительно представляет искомое решение 1J.
Совершенно аналогичные результаты получим, если струна подчинена другим краевым условиям. Если, например, начальная точка закреплена, т. е. и (0, t) = 0, а конечная точка-упруго связана со своим положением
') При этом предполагаем, что функции 9, ф, <р\ <р", ф'— кусочно-гладкие. Можно, конечно, избежать этих значительных ограничений, если отказаться от раз-лож е и и я наших функций и их производных и ограничиться только тем, чтобы охарактеризовать эти функции с помощью их коэфициеитов Фурье. «з Колебания струны 286
равновесия, что соответствует уравнению Ux =—hu (h >0)*), то в результате постановки и (х, t) = v(x) g(t) получается следующая задача о собственных значениях: требуется определить постоянные X = V2 таким образом, чтобы диференциальное уравнение v" -(-X^ = O при краевых условиях ?(0) = 0, -»'(тг) —{— hv (Tr) = 0 имело неисчезающее тождественно решение v. Первое краевое условие показывает, что функция V должна быть вида sin vx, 4 второе дает для v трансцендентное уравнение A sinvir= — V cos vir. Если h ф 0, корни этого уравнения можно получить графически, беря сечения последовательных ветвей кривой z = Igm*в
плоскости Zt V прямой линией Z =--J-V. Опять, стало быть, полу-
h
чается последовательность собственных значений X1, X2,... с соответствующими фундаментальными функциями sin V1 х, sin V2 х,... и собственными колебаниями cos V11 -f- sin V11) sin V1 x,...
Кстати, для я-Й собственной * частоты Vn непосредственно получается „асимптотическое" соотношение
lira -^ = 1.
п-*0О п
Если, в частном случае, конец струны „свободен", т.е. A = Q и, зна-
• 1
чит, их = 0, то vn = «--— , и мы имеем:
Л!
^віп(я--і).
Решение уравнения (12) мы опять сможем искать в виде ряда:
" 0=2 Sm Vft Х К COS ^nt Л-Ьп sin \t)> /І
ожидая при этом, что подходящим выбором постоянных ап, Ьп можно будет приспособить это решение к произвольно заданному начальному состоянию. Для проверки этого предположения придется исследовать во1 прос о разложимости произвольной функции w (х) в промежутке 0 X =? тг по функциям sin v„ Xf собственным функциям диференциального уравнения (12), с краевыми условиями
V (0) = 0, ho (тг) = — і/ (тг), (14)
что будет сделано в §14. Однако укажем здесь же на свойство ортогональности функций vn=sin Vn X4 Действительно, оказывается,
TZ
fVnVmdx = 0 при V„ ф V171 , (15)
O
в чем непосредственно убеждаемся, умножая уравнение v"n г>п = 0
і) Ср. гл. IV, § 10, стр. 237, где это краевое условие выведено из факта появления в выражении потенциальной энергии добавочного краевого члена.
18 Курант-Галь берг. 274
Проблемы колебаний
Гл. V
иа vm, уравнение v^ -f- V^ Vm = O на vn, вычитая одно из другого и интегрируя. В результате получим:
" * d Ы - Vm) j4. ** dx +Vm — Vm Vn) dx = 0,
о о
откуда в силу (14) и вытекает свойство ортогональности.
