Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(pv')' — qv+ Ipv = O, (19)
где q — заданная непрерывная функция. Для некоторых вопросов имеет значение то обстоятельство, что диференциальные уравнения (18) и (19) можно преобразованием независимого либо зависимого переменного привести к простым нормальным формам. Например, пользуясь преобразованием iZ = v]/lp, приходим к виду:
~(p*z')-(q*-X)z^0, (20)
где
u. JL ^L ( d 1\ j_ ?
Р - р ' xfpdxYdx^)+ р-
') Что именно эти типы выделяются, проще всего обосновать с точки зрения вариационного исчисления (ср, гл. IV и VI). а) Ср. гл. IV, § 10,2. «з Колебания струны
277
Точно так же можно при q =¦ 0 преобразовать диференциальное уравнение к виду:
z" + Iaz= O, S=Pр,
введя вместо X новую переменную S = I и заменяя затем опять S
JP W
через X.
Другое важное преобразование диференциального уравнения (19) дается формулами:
u=\/~ppv, < = j"у^-jdx, /=j -^f-P-dx.
(20')
При этом уравнение (19) переходит в
u" — ru+lu = 0, (19')
где г обозначает непрерывную функцию1).
Фундаментальным функциям v и (положительным) собственным значениям X диференциального уравнения (19) соответствуют. собственные колебания струны с частотой v=V~X , изображаемые функциями:
V (л:) (?v cos \t -J- b4 sin \t).
И здесь фундаментальные функции наших задач типа Штурм-Лиувилля представляют собой системы ортогональных функций; свойство это получается к тому же без знания специальных свойств этих функций, из одного лишь диференциального уравнения, а. именно, если Xn, Xm — два различных собственных значения, Vn и vm — принадлежащие им собственные функции, то, как и выше в п. 1, имеем:
TC п
(К— U j P Vn°m dx + ^faiP Wnvm-VnVtm)) dx =°.
О О
причем второе выражение, вследствие однородности краевых условий обращается в нуль, так что для функций |/ р V1 действительно выполня-
п
ется соотношение ортогональности: \fpvrivmdx = 0. Эти функции можно
о
предполагать нормированными, что мы и делаем в дальнейшем. В § 14 мы покажем, что собственные значения X диференциального уравнения (19) при заданных краевых условиях, будучи расположены по порядку их величины, образуют бесконечную последовательность X1, X2. X3, —, а принадлежащая им система фундаментальных функций представляет собою полную ортогональную систему. Далее, всякая
Г а 4
О Функция r=z-j~-f—. где f=YP9- 278
Проблемы колебаний
Гл. V
удовлетворяющая, краевым условиям задачи непрерывная функция f(x), с кусочно-непрерывными первой и второй производными, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд:
00 Я
/=H cnvn ' ^=5 pfvndx
п = I
по собственным функциям. Эта теорема о разложении делает возможным приспособление решения
оо
и (X, t) = ^jvn (х) (ап cos vnZ -f bn sin vnZ)
л = 1
к заданному начальному состоянию.
Собственные значения X задачи Шгурм-Лиувиллк, за исключением .задачи с-условиями периодичности 1J, все являются простыми, т. е. одному собственному значению X не могут принадлежать две друг от друга линейно не зависимые собственные функции v, v*. В самом деле, если бы существовали две такие собственные функции, то в форме cv-\~c*v* содержалось бы всякое решение уравнения (19); в таком случае любое решение должно было бы удовлетворять одним и тем же заданным однородным краевым условиям, что противоречит тому обстоятельству, что можно, например, найти решение с произвольно4 наперед заданными значениями г» (O) и г»'(0), между тем как краевые условия 1—3 содержат соотношение между г>(0) и D1(O).
Собственные значения X = V2 при f^O, A0 О, A1S=O все положительны. Действительно, имеем:
¦к re т:
X = X ^ рг»2 dx = — ^ [(PVt)' v—qii2~\ dx = { (pi/2 -j- qv2) dx — pv'v , о и U
а правая сторона этого равенства в силу краевых условий 1—4 положительна. Положительность собственных значений играет существенную роль в том смысле, что благодаря ей все фундаментальные функции соответствуют колебательным процессам.
Если какое-нибудь собственное значение отрицательно, то вместо соответствующего собственного колебания появляется апериодический процесс, но, как мы позже увидим, и при отрицательном q это может случиться лишь конечное число раз 2).
Наконец, что касается вынужденных движений струны, то можно поступить так же, как в § 2 у однородной струны. Однако в частном случае, когда в неоднородном диференциальном уравнении (рих)х— = рии—Q(x,t) возбуждающая сила является периодической функцией времени вида Q (х, Z) = tp (Ar)Cno', применяют обыкновенно следующий
') В последней задаче X = и2 при п= 1, 2, 3,... является двукратным собственным значением уравнения у 4- Xy = O с собственными функциями sin пх и cosпх. П См. гл, VI, § 2. Колебаний стержня
379
метод 1J: предполагают решение в форме u = v (х)еш и немедленно получают- для v(x) соответствующее уравнению (18) неоднородное уравнение
(pv'y + lpv=-y(x) (X=®?).
Для определения коэфициентов разложения решения 1>(лг),
TC
4n = \?vvndx,
о
умножаем наше диференциальное уравнение на ©„(*), интегрируем по основной области и преобразуем первый член интеграцией по частям. Тогда, принимая во внимание диференциальное уравнение для Vn, немедленно получаем: у„ ().п—).) = сп, и следовательно,
