Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Французское издание энциклопедии:
Lecat M., Calcul des variations, т. И, вып. 6, статья 31, стр. 1—288. Доведена до 1913 г.
Moigno М. et Lindelof L. L., Calcul des variations. Paris 1861.
Kneser A., Lehrbuch der Variationsrechnung, Braunschwei? 1925.
Bolza O., Vorlesungeri uber Variationsrechnung, Leipzig und Berlin 1909.
Hadamard J.. Lefons sur Ie calcul des variations, I, PHris 1910.
TonnelliX., Fondamenti del Calcolo delle Variazioni, I и II, "Bologna 1921 и 1923.
Vivanti G., Elementi del Calcolo delle Variazioni. 1923.
Bliss G. A., Calculus of Variations, Chicago 1924. Глава V.
Проблемы колебаний и задачи о собственных значениях
в математической физике.
Вариационные принципы физики привели нас в гл. lV, §10 К типичным краевым задачам либо к задачам с начальными условиями для процессов равновесия и движения непрерывно протяженных физических систем. Поставленные там в "частности задачи носят все линейный характер. В рамках систематической законченности мы рассмотрим эти вопросы лишь позднее во втором томе, в общей теории диференциальных уравнений с частными производными. Но мы вСе же хотим в этой и в следующей главах изложить ряд важнейших черт из теории линейных диференциальных уравнений, в особенности поскольку они относятся к колебательным процессам. При этом в центре изучения будет стоять метод собственных функций.
§ 1. Предварительные замечания о линейных диференциальных уравнЕниях.
Начнем с нескольких общих замечаний о линейных задачах.
1. Общие замечания. Принцип наложени.я. Под ли-н-ейным однородным диференциальным выражением, или диферен циальным о ператором, мы разумеем вообще функцию
1 [и] = Au -f Bux+...+Cuxx+...,
отнесенную функции и, т.. е. линейную однородную комбинацию функции и и ее производных до какого-нибудь заданного порядка — порядка диференциального выражения, — причем коэфициенты являются данными функциями независимых переменных. Основное свойство, характеризующее такой диференциальный оператор, выражается следующим равенством:
L [C1U1 -f- с2и2] = C1L [aj +C2L [и2], (1)
где c1 и. C2 — какие угодно постоянные. Уравнение вида:
L M =/(¦*. У>-- •)>
где /—данная функция независимых переменных, представляет собой самое общее линейное диференциальное уравнение. Если f= 0, то диференциальное уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.
Линейные однородные диференциальные операторы являются лишь частным, хотя в дальнейшем почти исключительно рассматриваемым прит H Предварительные замечания
261
мером линейных однородных функциональных операторов. Другой такой оператор представляет, например, интегральное выражение:
Цк(х,уЛ, T1) и (Z, ifldS'rfq,
"а
знакомое нам из теории интегральных уравнений, или оператор
^ 2it
2 г
в [«] = J^ I {и(х -f AcosO,у -f Лsin&) — и (JC,_V>}do,
щ)
о
или разностный оператор
і- {u(x + h,y) + u(x — h,y) -f u(x,y-\-h)-\- и(х,у — h) — 4м(х, у)}.
Два последних, как это легко проверить, в пределе при h—»О переходят в диференциальный оператор Дм в предположении, что и имеет непрерывные производные до второго порядка. Условие, что линейная комбинация таких линейных операторов равняется известной функции, дает линейное функциональное уравнение, примерами чего служат, кроме диференциальных уравнений, также и интегральные и разностные уравнения. При Stom вышеприведенное уравнение (1) вообще характеризует линейную однородную природу оператора L[u\.
Решения однородного диференциального уравнения — и вообще однородного функционального уравнения — обладают следующим основным свойством, свойством наложения (суперпозиции): Если uv U2— два ре.г шения, TO И выражение C1Ui+ C2U2 является решением при произвольных значениях постоянных C1, с2. Вообще, можно комбинировать произвольно большое число частных решений U1, и2,... с постоянными C1, C2,..., и при этом получится новое решение c1m1 + C2U2-j-. . . OO
Сходящийся ряд, ^ спип> составленный из бесконечной последова-/1 = 1
тельности решений U1, M2,..,, наверно представляет собой решение в том случае, если возможно почленное применение к этому ряду дифе-ренциальной операции ?.[м].
Если известно решение и(х, у, ...., а) функционального уравнения L [и] —О, зависящее еще от произвольного параметра а, то можно подучить новые решения в следующем виде:
VZ=^-W (а) и(х,у,...; а) da,
причем щ (а) — произвольная функция, а область интегрирования может быть выбрана как угодно, при том лишь ограничении, что интеграл должен существовать и что должно быть дозволено выполнение процесса L под знаком интеграла; для диференциальных . .операторов, при кусочно-непрерывной функции W (а) и конечной области интегрирования, это условие, во всяком случае, выполняется. 262
Проблемы колебаний
Гл. V
Если полностью решено однородное уравнение, то для решения неоднородного потребуется знание одного лишь частного решения, так как все решения неоднородного уравнения получатся от прибавления одного его частного решения ко всем решениям однородного.
