Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В классической оптике широко используется понятие «огибающей» или «медленно-меняющейся амплитуды» (MMA) квазимонохроматической и квазиплоской волны, которое можно ввести, выделив в положительно-частотной части поля (3.2.23) гармонический множитель (тип поляризации фиксируем):
где к0 — произвольный вектор и (O0 = (о (fe0)- В случае свободного монохроматического и квазиплоского поля функция E м удовлетворяет однородному параболическому уравнению (примером решения этого уравнения является огибающая ТЕМ-волны (6.3.24)). В отсутствие источников разбиение поля на положительно- и отрицательно-частотные части совпадает с разбиением на части, зависящие от операторов уничтожения и рождения фотонов:
Sq = S S?х А(оЭф, АсоЭф = ? Аозэф,
(35)
оо
E^ (rt) = (rt) е4 «A»'-*»"-),
(36)
Е° <+> (rt) = [Е° <-> (rt)]+ = і S скаке1 <*"-«V>.
(37)
к
где коэффициенты ск определены для анизотропной среды в (3.4.35). Сравнивая (36) и (37), находим связь оператора огибающей и § 6.5]
параметрическая сверхлюминесценция
211
операторов уничтожения:
?м<+) (rt) = 1 Sckffl* exP Iі (coo — (Ok) t + і (к - Jc0) ¦ г], (38)
к'
из которой следует перестановочное соотношение [Elw(Tt), El^(Tf)] =
= S ct ехр [i (CO0 - (O1cXt - t') + i(k - Ao) • (г — г')\. (39)
к
Пусть условия задачи (например, условие синхронизма или дополнительная фильтрация) позволяют учитывать только компоненты поля, принадлежащие малой области fc-пространства в окрестности к0, тогда (39) можно представить в виде
Со ехр {і (к — fco) • [Mo (t' — t) + r — т'\}:
= 2лт°и° o[u0(t'-t) + r~r']. ' (40)
cll0 COS Po
Последнее выражение определяет также и антинормально-упоря-доченный коррелятор огибающих в случае вакуумного состояния поля в среде.
Формулы (37) — (40) относятся только к свободному полю вне нелинейного слоя. Внутри слоя имеется источник ПОЛЯ — нелинейная поляризация (14), однако на граничных поверхностях (z = 0, I) статистические характеристики внутреннего и внешнего полей должны, очевидно, совпадать. Такое «сшивание» решений на границах задает входные моменты. Например, полагая в (40) Z = Z= 0 и усредняя по вакуумному состоянию «левого» полупространства, получим антинормально-упорядоченный второй момент на входе слоя:
<?(м+) (xyOt) Et\x'y'0t')> = [Е(+) (xyOt), E^ (x'y'0t')\ =
= ^s-b(x-x')b(y-y')b(t-t% (41)
где n = n cos 0 cos p и O0 — угол между вектором групповой скорости U0 и осью Z (0О = Po в случае к0 || z).
Представим полное поле в виде суммы трех квазимонохроматических и квазиплоских волн (т. е. трех «модулированных» во времени и пространстве собственных волн среды в линейном приближении):
E (rt) = 2 E^ (rt) е1 < V-ffli'> + э. с., (42)
i=l
где «несущие» частоты со; и волновые векторы ki удовлетворяют условию синхронизма (например, прямого коллинеарного, когда 21(1
параметрическое рассеяние
[гл. 6
hi И Z и U1 + к2 = A8) и закону дисперсии. Взаимодействие волн в нелинейном слое описывается системой из трех уравнений для Emі в частных производных, которые следуют из (14) и уравнений Максвелла, причем слабость взаимодействия позволяет пренебречь вторыми производными ио Z vi t [9]. В приближении заданной накачки (E12 E3) преобразование сигнальной и холостой огибающих волн в нелинейном слое линейно:
ЕІЇ (xylt) = { dx' dy' dt' X
X {U (xylt I x'y'Ot') E^ (x'y'Ot') V (xylt | x'y'Ot') (x'y'Ot')}. (43)
ь
Здесь U, V — функции Грина уравнений для ММА, которые зае висят от различия групповых скоростей ui и углов «сноса» рг. В нулевом приближении по X У0 = 0, a U0 описывает распространение огибающей со скоростью u11 а также ее дифракционно-«расплывание» в плоскости ху (см. формулу Гюйгенса — Френеля (4.6.1)).
Преобразование (43), которое должно сохранить перестановочные соотношения (41) (взятые при Z-Z= I), определяет все моменты выходного поля в «правом» полупространстве через моменты падающего слева поля. В случае негармонической накачки функции Грина зависят отдельно от аргументов t и t' (а не от их разности), и поэтому статистика выходного поля нестационарна даже в случае стационарного (в частности, вакуумного) падающего поля.
Умножая (43) слева на эрмитово-сопряженное равенство и усредняя моменты падающего поля по вакуумному состоянию, с помощью (41) найдем среднюю интенсивность ближнего поля ВНР в точке г = {х, у, Z} в момент t:
-^ = S1Art)= ^t <Ett(rt) Eti (rt)> =
= Tko2 [ dx' dy' dt' I V (xylt I x'y'Ot') \\ (44)
Tl2 J
где S1 — полная энергия импульса. Это выражение определяет через функцию Грина V среднее число фотонов сигнала, пересекающих за единицу времени единичную площадку выходной плоскости слоя с координатами х, у в момент времени t. Подчеркнем, что это среднее — не по времени, а по ансамблю одинаковых экспериментальных установок. Практически усреднение можно производить по большому числу импульсов накачки, разделенных достаточным интервалом времени. Отсчет времени при этом производится относительно характерной точки огибающей импульса накачки, например, ее максимума.
