Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
тике наблюдаются несимметричные нормально-упорядоченные величины (§ 4.3).
Спектральная форма. Перейдем к фурье-образам введенных выше функций:
/ N = -SF $ dteMf W' * И = $ dteiaiK W'
сх>
(22)
2л (іш — е) 2 2it'j)
где Зд означает главное значение интеграла; отметим, что
0 (_ ш) = 0* (о), 0 (ш) + 0* (<о) = 6 (<в). (23)
Функция <р (и) называется спектральной функцией. Перепишем приведенные выше соотношения в спектральной форме:
</»><!> = X (to)-F(O)), (За)
<р(±> (О)) = J do' ё (СО =F 0)') ф (0).') = du>' «a-p' + fe ' (6а)
X (О)) = ^L ^ dca'0 (со _ со') ф (0)') =-J- J d«fl' + і -J- Ф((0), (7а)
ф12 (со) = S Pn /lnm /amn 0 (м + гапш), ( Юа) mn
<р(со) г= е-р»ф (_ м) _ _ „у (_ ю) ф (t0) (18а)
= Ж (-со) (х(со) -X (-со)} (19а)
(здесь р„ = Z-1 ехр (— &п/хТ) — относительные населенности). Последняя формула является ФДТ в спектральной форме. В более подробной записи она имеет вид
</іИ/И0)')> = ^ б (G) + G)') Ж (G)') (Jfo (СО) -Xii (0)')}. (24)
Перепишем также более подробно формулу (18а), связывающую моменты и коммутаторы в равновесной системе:
</ (о) g (0)')> = - JT (0)') <[/ (O)), g («')]>. (25)
Надо отметить, что вывод линейной ФДТ сразу в спектральной форме проще [143, 144], однако временной формализм, по-види-мому, компактнее при выводе квадратичной ФДТ.
Симметрия моментов и восприимчивостей. Рассмотрим симметрию функций /, ф, X по отношению к изменению знака их аргументов — времени или частоты. Пусть операторы fj — вещественные или чисто мнимые:
/* = ± fj = sfj-, (26) § 2.4] ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ 69
например, если Z1 и /2 — координата и скорость частицы, то S1 = +1 и S2= —1. Волновые функции замкнутой ориентированной системы обладают следующим свойством: ^ {—В) = о|)п (В) ([143], с. 462), так что
f}nm(B)=s}f%m(-B), (27)
где В — внешнее постоянное магнитное поле. Из (27), (10) и (7) следует
Ф18 (Z, В) = S1 S2 9? (-Z, -Б) = ф12 (г, Б), (28)
Xl2 (Z, В) = (t, -В). (29)
Отсюда при учете определений фурье-образов (22) находим
Фіг (o. -Б) = sis2 ФЇг (о, —В), (30)
Z12 (ш, В) = S1S2X21 (-©,-В). (31)
Эрмитовость операторов /г приведет к дальнейшим ограничениям:
/(со) = /+ (—©), q,(f) = q>(-f). X (0 = ^(0- (32)
Формулы (29), (31) выражают принцип симметрии Онсагера.
Аналогичной симметрией обладают, как нетрудно убедиться, и высшие (неусеченные) моменты:
Фі-Jv = <fi(ti).- • /ат (Zjv)>s = Фз...іу = ±</i(— Zi). . . /iv (— tN)y*B.
(33)
Квадратичная ФДТ. Во втором порядке теории возмущений из (1) и (2.3.22) следует
/f=--L J CZZ2 J Clt1 ?[[/», /?]№, (34)
-OO -OO Jtj2
in = fin (*n). Fn E^ Fjn (Z„). Отсюда определяем квадратичную восприимчивость:
</<2>> = j d*, CZZ12 (35)
Jlh
Х321 =--J^ 03202іФз21, (36)
Ф32і = <t[/3, h\ /J) = Ф321 — Ф2зі — Фі32 + Фі23, (37) ф321 = </3/2/1), 021 = 0 (*2l), Z21 = Z2 — Z1. (38)
Здесь X321 является тензором третьего ранга, каждая из 27 компонент которого есть функция двух независимых аргументов:
%32i = Xwi Z2, Z1) = Хлм. (Zsi, Z21, 0). (39) 70 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
В правой части (35) можно поменять обозначения индексов суммирования и переменных интегрирования (1, 2) (т. е. J1, Z1 ^jr2, Z2) и переставить местами F2HF1 (так как Fj — не операторы), так что ^321 = ^312 и можно симметризовать определение %:
)(321 = (X-J21 + Хзіг) = — -JfiZ (0з202іФз2і + 0зі0і2Фзі2)- (40)
Эта формула выражает квадратичную восприимчивость через «усеченные» или «причинные» части коммутационных функций Ф, которые в свою очередь являются комбинациями из четырех «усеченных» моментов третьего порядка ф (двухвременных корреляционных функций). Задача состоит в том, чтобы «обернуть» равенство (40) и выразить ср через Сперва выразим ср через Ф. Из определения (37) следует
Фз2і + Ф2зі = 0, Ф321 + Ф213 + Фі32 = 0; (41)
перестановка индексов в (41) даст еще два независимых уравнения, так что из шести величин Фшт только две являются независимыми. Условие равновесности аналогично (15) дает
Дл>123 = ф231, (42)
^n= ехр Ж«з=1.
После ряда преобразований (подробнее см. [149]) находим
ф321 = ж3 (JvI)132 + .уГгФ321), (43)
JrJtn = (М±г - 1 )"\ п=-п.
Далее с помощью (41) и (33) х) можно показать, что из (40) следует Фз2і = -2Й2 (Хз2і - X2зі + в- е.), (44)
где «в. с.» означает операцию «временного сопряжения» согласно (33): % + в. с. = % + %. Объединяя (43) и (44), получаем квадратичную ФДТ во временной форме:
ф. 21 = — 2H2 IJT1JT2 (хз2і + b.c.) + ./KVr3 (xi23 + b.c.) — - ЖГЖ3 (X213 + в. с.)] = - 2h2jr3 [Жг (Z321 - Х231 + в. с.) +
+ JTi (Хіз2 — Хзі2 + в. с.)]. (45) Перейдем к спектральному представлению. Определим следующие функции C/iS = XMrfi(coS-J)2Jii)):
= [2nd (юз + Co2 + CO1)]-1 \ dt3 dt2 dh er^u^^u)^
» (46}
qjgg = [8л36 (W3 + W2 + W1)]-1 5 dt3dt2 du еі^а+ад^іОф^.
1J Предполагаем, что /j (t) обладают определенной четностью. § 2.4]
ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ
