Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить, что использование ФДТ (как линейной, так и нелинейной) для определения спектра теплового излучения при учете оптического ангармонизма вещества требует некоторой осторожности (гл. 5).
Линейная ФДТ. Пусть энергию возмущения можно представить в билинейном виде:
= (1)
і
где fj — операторы системы (например, дипольный момент /-й молекулы образца) и Fj — обобщенные силы (электрическое поле в центре /-й молекулы).
Согласно (2.3.22) произвольный одновременный гейзенберговский оператор в линейном приближении по F выражается через невозмущенные операторы системы следующим образом:
t
= fi(t')]F}(t'). (2)
и
Пусть наблюдаемой величиной является среднее значение (см. (2.2.44)) </Р (Z)) = Sp {/jX) (Z) р (Z0)}, определяемое через начальную (до включения силы) матрицу плотности, которая в представлении Гейзенберга не зависит от Z. Если начальное состояние системы было равновесным, то р (Z0) определяется формулой (2.2.43) с единственным параметром'—температурой. Соотношение (2) после усреднения определяет матрицу линейной восприимчивости системы:
</(i) m=\dt't(t, t').F(f), (3)
Xa (h, h) = 4-10 (h - h) <[/, (Z1), f5 (z2)]>, (4)
0 (х > 0) = lim Є(я<0) = 0.
Е->+0
Мы здесь дополнительно постулируем бесконечно малое затухание (є = +0) коммутатора гейзенберговских операторов для достаточно удаленных моментов времени. Это предположение, по-видимому, эквивалентно гипотезе о затухании корреляций или условию адиабатичности включения взаимодействия (2.3.23), и оно представляется естественным следствием релаксации, т. е. неучитываемого явно взаимодействия с термостатом. Ступенчатая функ-66 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH [ГЛ. 2
ция 0 (Z2 — Z1) обеспечивает причинность — будущие значения силы (при Z2 Z1) не влияют на наблюдаемую величину. Заметим, что в (4) опущены индексы представления взаимодействия, так как шпур инвариантен по отношению к унитарным преобразованиям.
Как будет показано ниже, средние по равновесному состоянию зависят лишь от разностей временных аргументов, поэтому 1 (tu Z2) = X (Z1 — Z2, 0) E= x (Zi — Z2). Введем функцию взаимной корреляции параметров /г и Jj невозмущенной системы
Фи (Z) = <ЇІ (Zi) fj (Z1 - Z)> = </; (0) fj (-Z)> = (Ji (Z) fj (0)>. (5)
Фурье-образ этой функции определяет спектр взаимных флук-туаций fi и fj. Набор всех функций ф^- (Z) образует матрицу вторых моментов системы: ф (Z) = </ (Z) / (0)>. Если ft (Z) и Jj (0) не коммутируют для каких-то Z, / и t, то матрица моментов несимметрична:
<[fi(t), h (0)]> = ф„ (О ф о,
или Ф (Z) = ф (Z) — ф (—Z) ф 0, где фа = ф7-г. Образуем из функции ср (t) две «усеченные» функции, отличные от нуля лишь при положительных аргументах:
«р<±> (Z) = 0 (0 ф (± Z). (6)
В этих обозначениях (4) принимает вид
— ій% = ф<+> — <р(-) =ЄФ. (7)
Восприимчивость X называют также запаздывающей функцией Грина, а функцию х (— 0 — опережающей функцией Грина. Иногда используют еще причинную функцию Грина, равную
{Ф« (t) + ф(-> (—t))/ih.
Формула (7) выражает х через усеченные функции корреляции, а мы хотим выразить полную функцию корреляции через у,. Прежде всего, избавимся от O-функции. Для этого вычтем из матричного равенства (7) транспонированное равенство при обратном знаке времени:
- іЛ ІХ (О - X (-1)} = Ф (О- (8)
Далее, в равновесной системе существует однозначная связь между фифи, следовательно, между ф и Ф. Чтобы ее найти, распишем с помощью (2.2.35) функцию корреляции в энергетическом представлении:
</i (Zi) Z2(Z2)) =
= Z-1 S f Inmhmn ехр {iSn (Z1 -Z2 + i?) + Zgm(Z2-Z1)J, (9)§ 2.4] ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНЬІЕ ТЕОРЕМЫ 67
где ? = 1/иГ и H = 1. Отсюда следует, что все равновесные моменты стационарны (т. е. зависят лишь от разностей временных аргументов). Положив в (9) Z1 = Z, Z2 = 0, найдем
ф ^(Z) = Z"1 3/1шп/2тпехр {i$n(t + i$)-i&mt}. (10)
пт
Отсюда при переставленных индексах п, т следует
ф21 (Z) = Z-1 S /W2mn ехр {i$m(Z + i?) - itgj}. (И)
пт
Сравнивая (10) и (И), видим, что если расширить область определения функции ф (Z) на комплексную плоскость, то
Ф (-*) = <?(*- i?). (12)
Введем оператор сдвига во времени
R (x) еш = eim<'+t> , R (X) / (Z) = / (f + г); тогда (12) примет форму
ф (—t)=Mi(t), <M = R(— i?) = е-грэ/а?.
Таким образом, оператор JRn = ехр (—i?<9/<9Zn) переставляет гей-зенберговы операторы под знаком среднего в равновесной системе!
A<f(h)g(h)> = <g(h)1(t а)>, (15)
<[/ (Zi), g (*2)1> = (1 - ^i) </ C1) g («,)>• (16)
Вводя обратный оператор, можно выразить функцию корреляции двух величин через среднее от их коммутатора:
</ (h) g (h)> = (1 - Ar1 <[/ (h), g (Z2)]), (17)
ф (Z) =5= (1 - М)~гФ (Z). (18)
Подставляя сюда (8), находим ФДТ во временной форме:
ф it) = і%(я- і)-1 {г (О - X (-0}- (19)
Заметим, что согласно определению (13)
(Я — 1 Г1 еш = JT (со) ei(af, (20)
Ж (со) == (е*>> — l)-i= (-ы) + 1] =^- cth-^-—l]. (21)
Функция JV (и) называется функцией Планка или фактором вырождения фотонов с энергией Йы. Обычно ФДТ формулируют для симметризованной функции корреляции (ф + ф)/2, однако в оп-68