Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этого гамильтониана, полагая в (2.1.7) по очереди / = Як, Pk, о-к, мы получим уравнения, совпадающие с (3.1.20) и (3.1.21), которые, в свою очередь, эквивалентны уравнениям Максвелла. Итак, мы нашли гамильтонову форму уравнений для поперечного поля при заданных токах.
Коммутаторы операторов поля. По правилу (2.1.11) без труда находим
\qn,Pk-\ = ihokk', [qk,qk'] = [Pk, Рк'] = 0. (7)
Теперь мы должны считать динамические переменные q, р и их функции а, Е, Н, Ж,... операторами, т. е. при преобразованиях сохранять порядок их написания. Напомним, что в квантовой механике с экспериментом следует сравнивать не сами переменные / (q, р, Z), а их «свертки» </> = <Z0 | / (Z) | Z0) с начальными векторами состояния поля | Z0), которые, как и в случае обычных тензоров или матриц, зависят от порядка: (Jgs) Ф <gfy.
В случае комплексных функций вместо знака комплексного сопряжения у операторов следует писать знак эрмитова сопряжения, например: а* -»- а+ = (<oq — ip)/Yl%<u. Эта замена символов обеспечивает выполнение правила (2.2.8а). Операторы а\ и ак -86
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
называются соответственно операторами рождения и уничтожения фотонов в моде к (смысл этих названий будет пояснен ниже). Оптические эксперименты, как правило, описываются с помощью произведений этих операторов, написанных в «нормальном» порядке [1, 2]: ^a1 ... апап+1 ... атУ (здесь 1 = кг, п = кп)\ мы будем называть эти величины (которые в совокупности несут полную статистическую информацию о поле в объеме L3) моментами порядка п + т. Например, второй «диагональный» момент ^aJa1) = A1 определяет интенсивность плоской волны с волновым вектором U1 и направлением поляризации еи%. В случае некогерентного поля число фотонов на моду согласно (1.1.26) определяет основной фотометрический параметр — спектральную яркость света на частоте о = ск с направлением к/к и поляризацией
Swa = Si^Nlt = - JJL- (4-'4+,> (В)
(в последнем равенстве мы использовали связь E^ = ickak, имеющую место при j к = 0).
Правила коммутации для операторов рождения и уничтожения следуют из (7):
= [AltjM = O. (9)
Отсюда с помощью (3.1.18) находим
[?,, Нг\ = - 2c*fifcS>, [Ek, Er) = [Нк, Hk,] = 0. (10)
Теперь вместо (3.1.15)] имеют место связи
. Elt=Eic, Hk =-Ц. (И)
Из (9) можно получить коммутационные соотношения для различных функций от операторов рождения и уничтожения / (а, а+) (см. [3]), например:
[/, at] = QjIQak, [ак, /] = Qj/Qat (12)
Эти соотношения следуют также из (2.1.11) при учете того, что согласно (3.1.17)
»с.й ¦<«>
При нахождении коммутаторов полезно также применять тождество
[a, be] = [а, Ъ] с + Ъ [а, с].
Мы будем в большинстве случаев использовать представление Гейзенберга, в котором вектор состояния неподвижен, а вся динамика поля заключена, как и в классической электродинамике, § 3.2]
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
87
во временной зависимости операторов ак (t). Эта зависимость определяется уравнением Гейзенберга (2.1.13), совпадающим по форме с классическими уравнениями (3.1.20). Таким образом, все соотношения § 3.1 сохраняются в квантовой электродинамике, если в них полагать динамические переменные операторами в представлении Гейзенберга.
В частности, согласно (3.1.19) операторы полей в точке г связаны с операторами рождения и уничтожения следующими соотношениями:
E{rt) = i^ekckak{t)e^^ + э. е.,
^ - (14)
H (rt) = IZik X екскак (?) eik'r + э. е.,
где э. с. означает эрмитово-сопряженное выражение.
Гамильтониан поля (6) принимает вид
Ж=%[Жак + Гкт (15)
к
XOk = —г>— {ча-к + акак) = Пщ [акак + -^-J ,
W(t)= -Y\akfk(t) + 4jk(t)].
Мы написали Жйк в симметризованном виде, что привело к появлению бесконечной энергии вакуума Однако физический смысл имеет лишь приращение энергии, поэтому эта бесконечность не входит в наблюдаемые величины.
В то же время «флуктуации вакуума», а точнее дисперсия напряженности поля в состоянии с минимальной энергией (см. следующий параграф), является реально наблюдаемой величиной, ответственной, например, за параметрическое рассеяние света. В следующем параграфе будет показано, что в состоянии вакуума отличны от нуля лишь антинормально — упорядоченные моменты: <аа+У = 1. Отсюда с помощью (14) находим квадрат поля, при-" ходящегося на одну моду: (E2 (W)> = ск. Таким образом, коэффициенты ск имеют смысл амплитуд нулевых флуктуаций электрического или магнитного поля одной моды.
Как отмечалось в предыдущей главе, равенства, связывающие операторы в один и тот же момент времени, сохраняют свой вид в различных представлениях, поэтому операторы в коммутаторах (7) и (9) можно полагать шредингеровскими или гейзенберговскими при t = t'. Таким образом, нам известны одновременные коммутаторы операторов поля. Чтобы из них определить перестановочные соотношения для разновременных операторов (которые согласно (2.4.17) или (2.4.25) определяют функции корреляции и спектр равновесного поля), надо найти закон изменения -88 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики [ГЛ. 3
