Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
<f (к)д (Z2)) = <z0 I / (Z1) д (Z2) I z0>. (39)
Заметим, что функция корреляции (39) определена с помощью гейзенберговских величин, и ее нельзя непосредственно выразить через шредингеровские функции и операторы.
Смешанные состояния и матрица плотности. Идеальный «источник» в случае многократных измерений с новыми системами должен изготавливать их в одинаковых состояниях | t0}. Можно в качесте примера указать следующий способ изготовления атомов в состояниях, принадлежащих дискретному спектру. Сперва атом переводится в основное состояние I 0)> с помощью холодного термостата, а потом подвергается действию сильного когерент-
(33) значения
(34)
(35) § 2.2]
ОБОЗНАЧЕНИЯ ДИРАКА
57
ного поля с определенной амплитудой, длительностью и частотой, равной одной из боровских частот атома <м10 (поле в когерентном состоянии можно, в принципе, приготовить с помощью лазера). В результате атом переводится в состояние вида а | 0) + ? | 1> с известными коэффициентами а, ?, зависящими от параметров поля.
Однако обычно источник является макроскопическим устройством с огромным числом возбужденных степеней свободы, и поэтому векторы I Z0); флуктуируют от раза к разу (г — номер испытания). В результате показания детектора U = <Z0| / (Z) | Z0) испытывают дополнительные флуктуации, которые можно описать, введя вероятности изготовления того или иного состояния р„. В таких случаях состояние системы называют смешанным (в отличие от рассматривавшихся до сих пор чистых состояний с определенной волновой функцией).
Более строго надо рассматривать общую волновую функцию | > системы и источника. Пусть интересующая нас система А взаимодействует или взаимодействовала с другой системой В (например, с термостатом или источником), тогда отдельной волновой функции для А ] не существует. Легко показать, что все свойства А можно задать с помощью некоторого оператора, называемого оператором плотности (или статистическим оператором). Пусть наблюдаемая / относится к системе А, и нас интересует </> = -(1/1). Разложим вектор | > по собственным векторам = \п ) I N} каких-либо операторов (например, гамильтонианов Ж а и Ж в, относящихся соответственно к системам А и В), тогда
</>= 21 < I nN) (nN j /| n'N'y (n'N' I > =
nn'NN'
= S fnw(n'N\ ><Е|лЛГ> = SpA(/p), (40)
nn'N
где мы определили, матрицу плотности, системы А
pWn=2i<n'N\ X I nN} (41)
N
(Sp означает сумму диагональных элементов). Этой матрице соответствует оператор
P=S<W1 X I АО = Sps I >< I- (42)
N
При f — I из (40) следует условие нормировки Spj4 р = 1.
Таким образом, для вычисления наблюдаемых системы А нет необходимости знать волновую функцию всей замкнутой системы (которая может зависеть от большого числа не интересующих нас переменных и содержать избыточную информацию), а достаточно определить лишь матрицу плотности системы А. Полагая, 58
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ IUEXAHTTKH
[ГЛ. 2
что система В имеет большое число переменных и явлется термостатом, мы приходим к понятию квантового ансамбля Гиббса, в котором матрица плотности диагональна в энергетическом представлении:
pnn' = Onn'Z-1 ехр (— ?<c„), (43)
Z = Sex p(-??„), ? = l/x7\
n
Итак, в случае смешанных состояний, описываемых матрицей плотности, наблюдаемые вычисляются по правилу (индекс А опускаем):
</ (O) = Sp [/ (Z) р (Z0)] = Sp [/пі (t) р (01. (44)
В соответствии с определением статистический оператор (как и волновая функция) в представлении Шредингера зависит от времени, а в представлении Гейзенберга не зависит. Функция корреляции вместо (39) определяется теперь формулой
</ (Z) g (Z')> = Sp [/ (Z) g (Z') р (Z0)]. (45)
Матрицу плотности удобно использовать и для описания чистых состояний, при этом
P = Pk = I > < I- (46)
§ 2.3. Представление взаимодействия и теория возмущений
Пусть в гамильтониане системы'можио выделить малую часть:
Ж = Ж0 + °1?У, Г<ж0. • (1)
Энергия возмущения V может быть, например, энергией взаимодействия слабо связанных подсистем — молекул в кристалле или электронов в металле; при этом Ж0 = и Vj не зависит от вре-
мени. В другом типе задач V— дополнительная энергия системы во внешнем (т. е. заданном, классическом) поле, статическом или переменном. В последнем случае энергия системы не постоянна: Ж = Ж (Z).
Представление взаимодействия. При условии (1) удобно использовать представление взаимодействия (его называют также представлением Дирака), которое занимает промежуточное положение между представлениями Шредингера и Гейзенберга.
Определим сперва унитарный оператор «невозмущенной» эволюции:
%0 = ехр [- ІЯС- (Z - t0)/hl, (2)
где Z0 — фиксированный момент времени. G помощью этого оператора определим операторы и вектор состояния системы в представлении взаимодействия (мы их будем отличать верхним индек- § 2.3] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 59
сом «О») через шредингеровские величины /Ш (Z), I Z> следующим образом:
f (t) ^ (t) 0U0, I f>° ^ % I ty. (3)
Это каноническое преобразование унитарно: 6U0cHt = I. Оператор 0It0 удовлетворяет уравнению
