Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь воспользуемся тем, что div и rot вектора смещения ф равны нулю.
Легко показать, что из уравнений (56) и (57) следует:
¦ ф-ф = 0: -kg{y) + ^M = 0; (58)
уХф = 0: dJM-kf(y) = 0. (59)
s-в
y=-h Вода_ - <
X- gL
2
Х=0
x=jL
Рис. 7.5. Низшая синусоидальная мода в прямоугольном аквариуме.
314
Продифференцировав по у уравнение (58) и сложив полученное выражение с
(59), мы исключим dg/dy и получим
(60)
Это уравнение имеет общее решение
f(y) = Aeky + Be-*>. (61)
Аналогичное решение легко получить и для g{y)'.
g[y) = АекУ - Ве~кУ. (62)
Граничное условие на дне. Теперь воспользуемся тем граничным условием,
что на дне аквариума (озера) нет вертикального движения воды. Условие
1];^= 0 при у =-h эквивалентно условию f(y) = = 0 при у = - h. Из
уравнения (61) получим В - - А ехр (- 2kh). Таким образом, имеем
окончательный результат для стоячей синусоидальной волны в аквариуме
(озере) с постоянной глубиной h:
= A cos со/ sin kx (екУ - е~2кке~ку), (63)
= А соз соt cos kx (екУ -\-e~2khe~ky). (64)
Уравнения (63) и (64) дают мгновенные значения смещений частицы воды с
равновесными координатами х, у. Как легко показать из этих уравнений,
движение данной частицы в стоячей волне в воде состоит из гармонического
колебания вдоль прямой линии в плоскости ху. Это легко увидеть, наблюдая
за кофейными зернами в аквариуме.
Волны в глубокой воде. Если глубина h велика по сравнению с длиной волны,
то член ехр (-2kh) практически равен нулю и мы можем пренебречь вторым
членом в выражениях для g(y) и f(y). В этом случае уравнения (63) и (64)
примут вид
= A cos со/ sin kx екУ, (65)
ip* = A sin со/ cos kx екУ. (66)
Мы видим, что волны синусоидальны в направлении х и экспоненциальны в
направлении у. Глубина проникновения амплитуды б равна l/k или, что то
же, к/2п. Величина Х/2п называется приведенной длиной волны и
обозначается символом к. Таким образом, для волн в глубокой воде имеем
f (у) =екУ = е~к 1 у 1 =e~iу '¦/*. (67)
Глубина проникновения для амплитуды (расстояние, на котором амплитуда
уменьшается в е раз) равна приведенной длине волны. Поэтому амплитуда
колебаний частицы воды, находящейся в состоянии равновесия под водой на
глубине одной длины волны от поверхности, меньше амплитуды колебаний
частицы на поверхности в ехр (-2п)ж 1/500 раз. Мы видим, что колебания
почти полностью затухают на глубине порядка одной длины волны. На такой
глубине движение будет пренебрежимо мало, и мы можем считать, что имеем
дело с волнами в глубокой воде.
315
Волны в неглубокой воде. Под такими волнами понимают волны, которые
возникают в сосуде (водоеме), равновесная глубина h которого мала по
сравнению с К. В этом случае мы можем аппроксимировать зависимость фж и
яру от у, оставив в разложении в ряд Тейлора функций f(y) и g(y) только
первые члены. Легко показать, что для h <^К уравнения (63) и (64) примут
вид
tyy = 2A cos at sin kx [k{y-\-h)], (68)
ф* = 2A cos at cos kx. (69)
Мы видим, что для такой волны горизонтальное смещение частицы фж не
зависит от ее равновесной координаты у. Вертикальное смещение фу меняется
линейно с глубиной частицы, достигая нуля на дне и максимума на
поверхности. На поверхности максимальное вертикальное смещение меньше
максимального горизонтального в h/K <1 раз.
В нашей модели идеализированной воды мы пренебрегла трением воды о грубую
поверхность дна. Для волн в глубокой воде это упущение несущественно. Для
волн в мелкой воде трение играет важную роль, в чем можно убедиться,
возбудив стоячие волны в прямоугольной ванночке (см. домашний опыт 7.11).
Другое приближение заключается в том, что мы пренебрегли внутренним
трением, т. е. вязкостью. Чтобы понять, как сказывается вязкость,
выполните какой-нибудь из домашних опытов с маслом вместо воды.
Дисперсионное соотношение для гравитационных волн в воде. Мы рассмотрели
геометрию идеальных волн в воде, но еще ничего не знаем о соотношении
между "формой" (длиной волны и глубиной) и частотой. Чтобы изучить эту
связь, нужно рассмотреть возвращающую силу, которая действует на воду в
волне. (Напомним, что возвращающая сила, приходящаяся на единицу смещения
и на единицу массы, равна со2. Это - общий результат, справедливый как
для гармонических водяных волн, так и для любых других гармонических
волн.)
При изучении мод в главе 1 мы пришли к выведу, что в данной моде все
движущиеся элементы имеют одно значение со2 и чтобы найти соотношение
между частотой моды и ее формой (если она известна), достаточно
рассмотреть движение для одной степени свободы движущегося элемента. В
нашей задаче форма волны определяется уравнениями (63) и (64). Поэтому мы
можем рассматривать движение отдельной частицы только в направлении оси х
(или у). Будем рассматривать движение по х бесконечно малого объе.ма
воды, расположенного очень близко к поверхности.
Рассмотрим небольшой объем воды (рис. 7.6), имеющий в равновесии размеры
Ах и Ау и длину L (по оси г). Пусть размеры Ах и А у малы по сравнению с
