Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
= A Cos (eK-f- <р) cos (kxx-\-a^) cos (куу-\-аг) cos (&гг + а3). (14)
Когда мы выражаем гармоническую волну через стоячие волны (14), то для
kx, kyYiki можно взять положительные значения. Действительно, в стоячей
волне колебания не распространяются в одном направлении (как это имеет
место в бегущей волне), а "распространяются в двух направлениях сразу".
Очевидно, что функция ф(я, у, г, t) не изменится, если, например,
заменить kx на -kx и аи на -"1. Таким образом, мы можем оставить все три
значения kx, kg, kz положительными и (в случае необходимости) изменить
соответствующим образом константы ab а2 и а3.
Смесь бегущей и стоячей волн. В одномерном пространстве суперпозиция двух
стоячих волн может дать бегущую волну. Аналогично, стоячую волну можно
представить в виде суперпозиции
302
двух бегущих волн. Возможна суперпозиция более общего характера, которая
не образует ни чисто бегущей, ни чисто стоячей волны. Все это справедливо
и для трехмерного пространства. Здесь, однако, возникает дополнительная
свобода, связанная с тем, что три координаты "независимы". Так, например,
возможна волна, которая по оси х имеет постоянную составляющую, по оси и
представляет собой стоячую волну, а по оси г - бегущую:
г)) (х, у, z, t) - ty(y, г, t) = A sin {k}y) 'cos (kzz-со/). (15)
Позже мы встретимся с различными примерами таких смешанных волн.
Трехмерные волновые уравнения и классическое волновое уравнение. Любая
трехмерная синусоидальная гармоническая волна независимо от того,
является ли она стоячей, бегущей или волной смешанного типа,
удовлетворяет следующим уравнениям (вы легко можете это доказать):
Приведем примеры волновых уравнений, соответствующих дисперсионным
соотношениям (10), (11) и (12).
П р им ер 1. Электромагнитные волны в вакууме. Используя уравнения (16) и
(10), мы находим, что волновая функция для отдельной гармонической
составляющей с частотой со и волновым числом k удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Так как с не зависит от частоты, то волновое уравнение (17) справедливо
для каждой гармонической составляющей, а также для произвольной
суперпозиции стоячих и бегущих электромагнитных волн в вакууме. Уравнение
(17) представляет собой трехмерное классическое волновое уравнение для
недиспергирующих волн. Аналогичное уравнение справедливо для любой другой
трехмерной недиспергирующей волны, например звуковой волны в воздухе.
Правая часть уравнения (17) представляет собой произведение сг на
divgradij), что иначе можно записать в виде VV'I' или
П р и м е р 2. Электромагнитные волны в однородной диспергирующей среде.
Если принять во внимание дисперсионное соотношение (11), то волновое
уравнение для гармонической волны частоты со будет иметь вид
(16)
(17)
(18)
-Е = -- V2ib дР п2 (со) у
(19)
303
В этом уравнении п зависит от частоты, и можно, например, разложить
решение в ряд или интеграл Фурье и воспользоваться дисперсионным
соотношением для каждой данной частоты. Классическое волновое уравнение
(18) отличается от (19) тем, что его можно использовать для импульсов или
других негармонических волн, не прибегая к фурье-анализу.
П р и м е р 3. Электромагнитные волны в ионосфере. Используя
дисперсионное соотношение (12) и уравнения (16), мы получаем трехмерное
уравнение Клейна-Гордона:
-Jr = - Цф+с272ф. (20)
Приведем несколько примеров двухмерных синусоидальных гармонических волн.
Пример 1. Электромагнитные волны в прл лоугсн0;юм волноводе. Чтобы
получить прямоугольный волновод, достаточно добавить к передающей линии
из плсскопараллельчых проводящих пластин две проводящие боковые пластины,
как это показано на рис. 7.1. Внутри волновода - вакуум. Мы рассмотрим
лишь те
бслеЗая
рластииа
Рис 7 1 Прямоугольный вол овод Получен из передающей лч'гщ с
пгралтетьньг'И таепг нами добавление .1 проводящие боковых пластин в у=С
и ц=Ь Стрелками показчно мгновенное электрическое поле н0 вщде волноюдз.
волновые моды, для которых магнитное и эгентпччеспое пспя не зависят от х
(для фиксированного у и г и для любого х внутри волновода).
" Волновое уравнение для этого случая будет двухмерным вариантом
уравнения (17). Пусть ф соответствует этектрическолу полю Ех, мы имеем
р.)
Дтя определенной частоты со имеем
_оГф = с2|? + С'--||. (22)
Наличие проводящих боковых пластин означает, что Ех равно нулю в
плоскостях у = 0 и у = Ъ. Поэтому волна ф (у, г, t) должна быть стоячей
волной относительно оси у с постоянными узлами в точках у = 0 и у - Ь.
Таким образом, электромагнитные волны распространяются по волноводу в
направлении +z и относительно оси z мы имеем бегущие волны.
304
Мы видим, что уравнению (22) удовлетворяет смешанная волна, которая
является стоячей по оси у и бегущей по оси г волной:
г))(у, z, /) = A sin kyycos (kzz-со/). (23)
Для этой волны справедливо дисперсионное соотношение
сo2 = c2?2-fc2?f. (24)
Множитель sin k у у в (23) удовлетворяет условию Ех~ 0 в у -
0.
Однако нам нужно, чтобы sin kvу = 0 и при у = 5, т. е. чтсгн
