Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
й2 = ^-ер, (115)
где е - диэлектрическая постоянная й р - магнитная проницаемость. Этот
результат аналогичен тому, который мы получили в п. 4.3 для
электромагнитных волн в передающей линии из параллельных пластин
[уравнение (4.66)].
7.5. Излучение точечного заряда
В этом пункте мы будем рассматривать электрические и магнитные поля в
сферической бегущей волне, образованной колеблющимся точечным зарядом.
Полученные результаты помогут нам понять свойства электромагнитного
излучения, испускаемого атомами, радиостанциями, звездами, и ответить на
вопрос о причине голубого цвета неба.
Уравнения Максвелла в присутствии источников. В этом случае мы должны
воспользоваться уравнениями Максвелла с членами,
328
соответствующими наличию источников:
су с_________* дВ
^ с dt'
V-E = 4яр,
V-B=0
(116)
(117)
(118) (119)
Выше мы работали с этими четырьмя уравнениями в случае вакуума (когда
плотности заряда р и тока J равнялись нулю). Мы нашли (в п. 7.4), что в
этих условияхЕ и В подчиняются классическому волновому уравнению для
недиспергирующих волн, распространяющихся со скоростью с. Далее, мы нашли
соотношение между Е и В для больших расстояний от источника, полагая, что
при достаточном удалении волны можно считать плоскими. Чтобы найти, как
излучение зависит от движения источника, нужно рассмотреть уравнения
Максвелла с членами, определяющими наличие источника. В уравнениях
Максвелла имеются два источника. Один из них - это плотность заряда р и
второй - плотность тока J. Эти источники зависят друг от друга, и связь
между ними выражается законом сохранения заряда:
Уравнение (120) легко проверить, если воспользоваться уравнениями (116) и
(119) и тем фактом, что У-УХУ = 0 fCM- том Н. уравнение (4.9)].
Рассматривая движение точечного заряда q, мы автоматически пользуемся
фактом сохранения заряда и поэтому можем не иметь дела с током J в явной
форме, а сконцентрировать наше внимание на уравнении (116) с источником в
виде заряда.
Закон Гаусса и сохранение потока Е. Уравнение (116) эквивалентно закону
Гаусса (см. том II, пп. 1.10 и 2.10). Для заряда, находящегося в покое,
закон Гаусса или (116) дают обычное поле, обратно пропорциональное
квадрату расстояния (том II, п. 1.11):
Здесь г = гг - вектор, соединяющий точку наблюдения с зарядом. Для
движущегося заряда мы можем использовать понятие силовых линий и закон
сохранения потока Е (что эквивалентно закону сохранения заряда). (См. том
II, пп: 5.3 и 5.4.)
Движение заряда. Используем закон Гаусса, чтобы найти поле, излучаемое
положительным точечным зарядом q, совершающим следующее движение: заряд
находится в покое в начале инерционной системы координат в интервале
времени от t = - оо до t = 0; в момент ^ = 0 он начинает двигаться в
направлении + х с постоянным ускорением а, и по истечении короткого
интервала времени At ускорение прекращается и заряд движется с постоянной
скоростью
(120)
Е =
Г
(121)
329
v = aAt. До момента ? = 0 электрическое поле в инерциальной системе
определяется уравнением (121); магнитное поле всюду равно нулю; силовые
линии Е направлены по радиусам от той точки, где находится заряд.
Неожиданное ускорение в момент t =0 создает перегибы или изломы ("kinks")
в силовых линиях поля Ей приводит к появлению магнитного поля В. Эти поля
распространяются от источника со скоростью с. (В этих утверждениях уже
использованы уравнения Максвелла!) Мы хотим найти поля на большом
расстоянии от источника; поэтому достаточно найти только Е. (Используя
наши результаты для плоских волн, мы сможем, зная Е, найти В.)
Рассмотрим время t, которое значительно больше, чем At. В точки
пространства, расстояние г которых до начального положения заряда больше,
чем ct, "новость" (информация) о том, что заряд получил ускорение, еще не
прибыла. Точки, для которых г меньше c(t - -Д^), получат информацию о
перемене состояния заряда, т. е. до них дойдут "перегибы" в силовых
линиях, вызванные неожиданным ускорением заряда. Электрическое поле в
этих точках будет определяться электрическим полем заряда, движущегося с
постоянной скоростью V. Это поле направлено от мгновенного положения
заряда q. Электрическое поле в фиксированной точке наблюдения,
находящейся на расстоянии г' от мгновенного положения заряда, движущегося
со скоростью v, выведено в томе II, п. 5.6. В точке наблюдения это поле
направлено вдоль линии, соединяющей точку мгновенного положения заряда с
точкой наблюдения, и его величина равна
(122)
где Р =v/c и 0 - угол между направлением скорости v и направлением на
точку наблюдения из точки мгновенного положения заряда. Нас будет
интересовать случай, когда v мало по сравнению с с. (Этому соответствует,
например, испускание видимого света атомами; в этих случаях v/c порядка
1/137.) Тогда с достаточной степенью точности мы можем положить в
уравнении (122) Р=0 *).
Таким образом, для заряда, движущегося с постоянной скоростью с,
электрическое поле в удаленной точке наблюдения равно
