Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
реальной воды. Напргмер, пренебрежем вязкостью, которая является
результатов внутреннего трения. (Профессор Ричард Фейнман дал такой
идеализированной воде название "сухой" воды.) Ограничимся также
рассмотрением волн с небольшой амплитудой.
Б\дем изучать геометрическую структуру и дисперсионно^ соотношение со (k)
для волн в воде в рамках рассмотренных упрощении. Все результаты, которые
мы получим, можно проверить на опытах в аквариуме или в другом подходящем
сосуде. (См. домашний опыт 7.11.)
Прямые волны. Рассмотрим волны в воде, имеющие определенную длину. Пусть
гребни и впадины этих волн образуют параллельные прямые. Такие волны
называются прямыми. Они представляют собой двухмерный аналог трехмерных
плоских волн.
Предположим, что у нас есть бесконечный водоем постоянной глубины h.
Когда нет волны, поверхность воды плоская. Пусть для этой плоскости у -
Он ось у направлена вверх, а волна распространяется горизонтально вдоль
оси х, так что гребни и впадины расположены вдоль линий, перпендикулярных
х.
Обозначим через хну равновесные координаты данной частицы воды. Величина
х может быть любой в пределах от х = - оо до -\-оо, з. у лежит в пределах
от у = - h (дно озера) до у = 0 (поверхность) .
В волне частица совершает движение, которое является комбинацией движения
вверх - вниз (вдоль у) и движения вперед - назад (вдоль х). Вектор
смещения в прямой волне имеет только х- и ."/-компоненты:
^ (х, у, t) =Х1|;Ж (х, у, O + (*, у, t). (50)
312
Мгновенная скорость частицы воды с равновесными координатами х, у равна
частной производной ф по t:
у, t) ~ di|\v ~ di|y у(х,у, 0 = --------=Х^+У^Г- (5))
Свойства идеальной воды. Здесь мы рассмотрим некоторые свойства идеальной
воды.
1. Сохранение массы. При изучении электрического тока (том II, п. 4.2)
было показало, что сохранение электрического заряда выражается уравнением
непрерывности
Y-(pv)=-|, (52;
из которого следует, что изменение заряда в бесконечно малом объеме
связано с током через поверхность, ограничивающую это] объем. В наше.м
случае следует заменить плотность заряда р на плотность воды. Тогда
уравнение (52) выражает закон сохранения массы. Далее, с хорошей степенью
точности воду можно считать несжимаемой. Тогда плстность р постоянна и не
зависит ни от времени, ни от координат. Поэтому правая часть уравнения
(52) равна нулю. Воспользовавшись выражением (51) для скорости v, мы
получас:-:
О = - = V • (pv) = ov • v
или
0 = V.v = V..;!J) = ?(r.l>),
т. е.
V -if = const. (53)
2. Отсутствие пузырьков. Константа в уравнении (53) должна быть равна
нулю. В противном случае, в соответствии с теоремой Гаусса, интеграл от ф
по поверхности маленькой сферы не будет равен нулю, что может означать
только наличие пузырьков. Но мы предположим, что пузырьков нет. Таким
образом, мы нашлг, что "сохраняющаяся" и несжимаемая вода, в которой нет
пузырьков, удовлетворяет уравнению
т-ч-З-ДУ' уъу-'>=0. (54)
3. Отсутствие водоворотов. Линейный интеграл от скорости по окружности
воронки водоворота не равен нулю. В бесконечно малом масштабе наличие
маленьких завихрений приведет к тому (закон Стокса), что ротор
от вектора v не будет равен нулю. (Чтобы
вспомнить понятие ротора вектора, см. т. II, пп. 2.15-2.18.) Мы
предполагаем, что завихрений нет, т. е.
¦ 0 = VXv = VX^ = |r(VX^)
313
и
VX^ = z(J^y- const. (55)
Стоячие волны в воде. Мы хотим найти форму водяных волн без
алгебраических выкладок, с помощью интуиции. Рассмотрим, например,
прямоугольный аквариум или другой сосуд в этом роде.
Наполним его на 15-20 см водой и потрясем осторожно вдоль х, стараясь
вызвать синусоидальные моды. Мы обнаружим, что самая низкая мода
выглядит, как показано на рис. 7.5.
Кинув в воду несколько кофейных зерен, можно наблюдать за движением воды.
Нетрудно заметить, что все кофейные зерна покоятся в один и тот же момент
времени и что смещения х и у равны нулю в одно и то же время. Этого и
следует ожидать для нормальной моды, т. е. для стоячей волны. Все степени
свободы (движущиеся элементы) колеблются в фазе. Поэтому мы можем
предположить, что для достаточно малых колебаний временная зависимость фж
и фу определяется гармоническим колебанием с одинаковой фазовой
константой, т. е. членом cos соt.
Далее предположим, что зависимость вертикального смещения фу от х
соответствует синусоидальной стоячей волне. Если мода выглядит, как
показано на рис. 7.5, то ф" имеет узел в х = 0. Поэтому фу содержит
член sin kx. Таким образом, можем записать
фу(х, у, t) = cos cousin kx f(y), (56)
где f(y) пока неизвестная функция от у.
Граничные условия на стенках. Как ф* зависит от х? На краях аквариума
частицы воды могут смещаться только вниз или вверх. Поэтому те места, где
фу имеет максимум (стенка), соответствуют узлам фж. Таким образом, мы
должны иметь cos kx для фж, тогда как для фу мы имеем sin kx:
фХ(х, у, t) = cos(?>t coskx g (у), (57)
где g (у) пока неизвестная функция от у.
Связь между горизонтальным и вертикальным движением.
