Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
при обходе контура 7, то тем же свойством обладает и функция y(t, е) при
малых значениях е ф 0. По формуле (1.4) скачок функции у1(-) равен
Если при фиксированных значениях у функция Н\(у, х) голоморфна в Сп, то,
конечно, ? = 0. Однако в практически важных случаях эта функция имеет
особенности (скажем, полюсы). Поэтому функцию Н(х,у, г) будем считать
голоморфной лишь в области Dc,s х & х Е, где О-связная область в Т?,
содержащая действительный тор Tj? и замкнутый контур Г - образ контура 7
при отображении х = х° + о}(y°)t, t ? 7.
Зафиксируем начальные данные у0, х° и будем непрерывно деформировать
контур 7 так, чтобы при этом контур Г не пересек ни одной особой точки
функции Н. Тогда, согласно теореме Коши, функция yl{t) при обходе
деформированного контура будет изменяться снова на ту же величину ? ф 0.
С другой стороны, решения
(1.6) непрерывны по начальным данным, поэтому неоднозначность функции
yl(t, у°,х°) вдоль контура 7 будет иметь место и для всех близких
значений у0, х°.
Теорема 1 [79]. Пусть выполнены следующие условия:
2) для некоторых начальных данных у0, х° функция у1 неоднозначна вдоль
замкнутого контура 7 С С.
Тогда у уравнений (1.5) нет полного набора независимых фор-
мальных интегралов F, - ^ F?(y,x)sx (1 ^ s ^ п), коэффициенты
г-0
которых - однозначные голоморфные функции в прямом произведении V х Q С
Ап,<5 х Т?, где V-окрестность точки у0 в Dc,s-
Снова считаем, что формальный ряд F = ТгТ-интеграл
(1.6)
(1.7)
1) det \\d2H0/dy2\\ ф 0 в DCj]
331
Глава VII. Ветвление решений
канонических уравнений (1.5), если формально {Н, F} = 0. Легко понять,
что в этом случае композиция степенных рядов (1.6) и 'ЦТ 1\е' будет
степенным рядом с постоянными коэффициентами.
Укажем основные моменты доказательства теоремы 1. Покажем сначала, что
функции F(J(y,x) не зависят от х. Пусть (у, х) Е 6 D х TJ и Fq = Фо +
гФр. Тогда Фр и Ф,' первые интегралы невырожденной невозмущенной системы.
Согласно лемме Пуанкаре (см. § 1, гл. IV), они не зависят от х Е Тд. При
х € fi постоянство функций Fq вытекает из связности области fi и
единственности аналитического продолжения.
Затем докажем, что функции Гц(у),..., F0n(y) зависимы в области V С Дс,?-
Действительно, F, (у, х, е) - интеграл канонической системы (1.5),
поэтому функция Fq постоянна на решениях
(1.6). Следовательно, ее значения в момент времени т Е 7 и после обхода
контура 7 совпадают:
тУ° + еу\т) + ...) +
+ sFi(y° + еу1{т) + ..., х° + сит + ех1 (т) + ...) + ... =
~FZ(y0 + e(y\T)+Z(y°)) +¦••) +
+ eFi(y° + ..., х° + lot +...) + ...
Разлагая это тождество в степенные ряды по ? и приравнивая коэффициенты
при первой степени е, получим (8Fq /ду, ?) = 0 (1 ^ ^ s ^ п). Скачок ?
отличен от нуля в окрестности точки у0, поэтому
ад,.
д(Уг,- ¦ . Уп)
во всей области V, содержащей точку у0.
С другой стороны, прменяя метод Пуанкаре из гл. IV, можно доказать
существование таких независимых интегралов ФS(y,x,s) = = Х]Ф?(2/, х)е1 с
коэффициентами, голоморфными в области W х
i>0
х fi (IV - малая подобласть V), что функции Фц (1 ^ s ^ /)) независимы.
3. В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенями свободы, у
которой возмущающая функция имеет вид
Н\ = / sin х\ + g cosxi + /г, (1-8)
где /, у и h - мероморфные функции от х2 с простыми полюсами. Первая
компонента подынтегральной функции из (1.7) равна
Ф(?) = - cos (и; it + c)f(uj2t) + siii(uyf + c)g(cj2t).
332
§ 1. Метод малого параметра Пуанкаре
Здесь cJi, о>2 - частоты, с - произвольная постоянная. Пусть при у = у0
частота и>2 отлична от нуля и хотя бы одна из функций / или у имеет
простой полюс. Тогда при надлежащем выборе постоянной с функция Ф также
имеет простой полюс и, Следовательно, функция yi(t,s) ветвится при малых
значениях ? ^ 0. Если, кроме того, невозмущенная задача невырождена, то
(по теореме 1) уравнения Гамильтона (1.5) не допускают дополнительного
однозначного интеграла.
Возмущающая функция редуцированной задачи о вращении тяжелого твердого
тела с неподвижной точкой в точности имеет вид
(1.8). Если тело динамически симметрично, то /, g, h - целые функции,
поэтому теорема 1 непосредственно не применима. Однако если среди главных
моментов инерции нет равных, то функции /, д и h - эллиптические с
простыми полюсами. Следовательно, в случае несимметричного тяжелого
твердого тела ветвление решений в плоскости комплексного времени при
малых значениях параметра Пуанкаре приводит к несуществованию
дополнительных однозначных интегралов. Этот результат, полученный впервые
в [79], дает положительный ответ в задаче Пенлеве - Голубева.
4. Используя ветвление решений, можно установить отсутствие
однозначных аналитических интегралов при малых, но фиксированных
значениях параметра ? ^ 0. Приведем один из результатов в этом
направлении, принадлежащий С. Л. Зиглину [63].
Пусть М3 = С2 х Tj., H(z,t,e) : М3 х Е -* С - некоторая голоморфная
функция, принимающая действительные значения при действительных z, t, е и
