Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет уравнению
^\dukdvk dvkduk)~
Приравнивая нулю члены порядка I, придем к уравнению для в/: ds, 8s,
( ds i ds,\ у-p
еД ~ n aiT+ " \щдГг ~ п л?) + ' ^(п " ">'""'"" = • • ¦ ¦
p+q=l
где правая часть - некоторый многочлен g степени /, коэффициенты которого
выражаются только через коэффициенты многочленов s2, • • •, "г-i и через
hpq при p+q <1. Для слагаемых Saoot^i^ в функции si получим уравнение
^а00б(о и^5) -}- iahaoob = 9ыюЬ' (Т15)
В итоге gam выражаются через коэффициенты hpq при р + q < < I. Пусть
теперь а и 5-натуральные числа, удовлетворяющие
(1.13). Коэффициент haoob можно изменить не более чем на ?о00?> так,
чтобы выполнялось неравенство \ iahaoob - <?аОог>| ^ ?аООЬ- Тогда, в силу
соотношений (1.13) и (1.15), будем иметь нужную нам оценку
(1.14), что и требовалось доказать.
Важно подчеркнуть, что при построении "возмущенной" функции Г амильтона
мы варьировали только коэффициенты вида /iaooA • Согласно (1.14),
1п||"*|| ^ 521п5 при k = a + 5. Из неравенства (1.13) при е <1 имеем
оценку а ^ 1. Поэтому в неравенстве
In llsg+fell > b2 In b_
(a + b) 1п(а + Ь) ^ [(а; + 1)5 + 1] ln[(u> + 1)5 + 1]
левая часть не ограничена при 5 -> сю. В силу леммы 3 уравнения
Гамильтона с возмущенным гамильтонианом не допускают дополнительного
интеграла в виде сходящегося степенного ряда. Теорема 1 полностью
доказана.
3. Введем на множестве степенных рядов Н новую топологию Т',
рассматривая в качестве окрестностей рядов с коэффициентами h*ka все
сходящиеся степенные ряды с коэффициентами hks, удовлетворяющими
неравенствам |5*.а - h*ka\ < е при \к\ + |s| ^ N для некоторых е > 0 и N
^ 3. Можно показать, что в топологии Т' множество гамильтонианов со
сходящимися преобразованиями Биркгофа всюду плотно в Н: если в формальных
степенных рядах,
316
§ 1. Метод Зигеля
задающих преобразование Биркгофа, отбросить члены степени выше N, а затем
изменить коэффициенты ряда данного гамильтониана при старших членах, то
получится сходящееся каноническое преобразование, приводящее
модифицированный таким способом гамильтониан к нормальной форме. Отметим,
что топология Т', конечно же, много слабее топологии Т.
До сих пор неизвестно, имеются ли в топологическом пространстве (Н, Т)
такие точки, что некоторые их окрестности состоят только из
гамильтонианов с расходящимися преобразованиями Биркгофа. Отметим еще
одну нерешенную задачу: верно ли, что гамильтоновы системы, допускающие
дополнительный аналитический интеграл, образуют в Н подмножество первой
категории Бэра в топологии Т? По-видимому, это утверждение истинно.
4. В работе Мозера [218] изучена родственная задача о
неинтегрируемости гамильтоновых систем с одной степенью свободы и
периодическим гамильтонианом в окрестности положения равновесия
эллиптического типа. Точнее,' рассматривается система уравнений
Гамильтона
х = Н'у, у = -Н'х\
H(x,y,t) = ~^{х2 + у2) + Hkl(t)xkyl (1Л6)
(x(t),y(t) - функции со значениями в К). Предполагается, что степенной
ряд с 27Г-периодическими коэффициентами Hki сходится в некоторой
окрестности начала координат при всех значениях t. Точка х = у = 0 -
положение равновесия; это равновесное решение можно трактовать как 27Г-
периодическое решение уравнений
(1.16). Предполагается, что а € К отлично от нуля. Тогда х = у - = 0 -
периодическое решение эллиптического типа.
Мозер рассматривает задачу о наличии у гамильтоновой системы (1.16)
интеграла
G(x,y,t) = х2 + у2 + F(x,y,t) (1.17)
со следующими свойствами:
1) F(x, у, t + 2n) = F(x, г/, ?);
2) функция F определена при малых значениях |х| + \у\ и имеет непрерывные
производные по х, у;
3) lim (xF'x + yFy)/r2 = 0, г2 = х2 + у2.
Ясно, что для аналитической в окрестности нуля функции F свойства 2) и 3)
заведомо выполнены.
Теорема 3 [218]. Для каждого набора положительных
317
Глава VI. Неинтегрируемость около положений равновесия
чисел ?2, (k, I 0, к + I ^ 3) найдется функция Гамильтона
H*(x,y,t) = -у(ж2 + г/2)+ Y1 НШ)хку\
|а-а*|<?2, \Hu{t) - H*kl(t)\ < ?кц для которой система
х={Н% у = -(Н*УХ (1.18)
не имеет интеграла вида (1.17) со свойствами 1)^3).
Оказывается, подходящим образом возмущенная система уравнений Гамильтона
(1.18) в любой проколотой окрестности точки х = у = 0 имеет изолированное
периодическое решение; это свойство несовместимо с наличием интеграла
вида (1.17).
Ряд МаклОрена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной
формы. Конечно, уравнения Г амильтона могут допускать "вырожденный"
интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо
непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 27Г-
периодические по t интегралы, представимые в окрестности точки х = у = 0
сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать
методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные
периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18)
составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в
