Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
отображение / не имеет интегралов в виде непостоянных суммируемых
функций, однако можно указать "квазиинтегралы"- функции, которые
практически сохраняют свои значения на больших, но ограниченных участках
траектории точки х.
*) Биркгоф, [18, гл. VIII].
304
§ 8. Символическая динамика
Для этого рассмотрим на отрезке [0,1] ортонормированную систему функций
Радемахера
<рт(х) = (-1)12"Ч т ^ 0.
Ясно, ЧТО <Pm(f(x)) = <Ptn+l(x) ДЛЯ ВСвХ X ? [0,1]. Положим Fk =
- {<fii + ... + <fik-\)/Vk. Легко проверить, что Fkdx = 0 и f0 Fk dx - 1.
В частности, колебание каждой функции Fk на отрезке [0,1] заведомо не
меньше единицы.
Справедлива очевидная оценка |Fk(f(x)) - Fk(x)\ = \<pk ~
- <Pi|/\/k ^ 2/у/к. Следовательно, |F*.(/m(x)) - Fk(x)| ^ 2т/\/к.
Зафиксируем малое е > 0 и большое т. Выберем к > 4т2/е2. Тогда значения
функции Fk в точках x,f(x),.... fm(x) при всех значениях х ? [0,1]
разнятся не более чем на е. Функцию Fk при больших значениях к
естественно назвать квазиинтегралом отображения /.
По теореме Муавра имеем
1 2
lim mes{0 ^ х ^ 1 : а < Fk(x) < b} = -= I e~z^2 dz. к^'Х> у/2ж Ja
Итак, при к -> оо значения квазиинтегралов распределены по нормальному
закону. Это - еще одно проявление квазислучайности в поведении траекторий
исходной динамической системы (Л, S).
3. Методы символической динамики применимы к описанию поведения
системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р-
гиперболическая неподвижная точка отображения S произвольного
многообразия М на себя. Можно считать, что М - фазовое пространство
неавтономной периодической гамильтоновой системы, a S' - отображение за
период (см. п. 4 § 1). Пусть Л+ и Л~ - асимптотические инвариантные
поверхности точки р, пересекающиеся трансверсально. Точки q ? Л+ П
естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками: lim Sn{q) =
П-* i<X>
= P-
Рассмотрим компактное множество в М, состоящее из траектории точки q и
точки р. Покроем его конечным числом малых окрестностей: р накрывается
окрестностью С/о? при этом Uq накроет все точки траектории {Sn(g)}, кроме
конечного числа; эти оставшиеся точки накроем по одной непересекающими-ся
окрестностями С/1,..., Un~i- Пересечения S(U0) П Uq, S(f/0)n П t/1,...
,S(Upj^i) П Uo непусты: первое из них содержит р, а остальные включают по
одной точке из траектории q. Эту ситуацию можно изобразить в виде "графа
пересечений" (рис. 33), вершины которого помечены символами 0, 1 ,...,N-
1, а ребро
305
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
от вершины г к вершине j проводится при непустом пересечении S(Ui) П Uj.
В зависимости от выбора окрестностей Uo,... ,U^-i граф пересечений может
иметь дополнительные (к указанным на рис. 33) ребра.
Лемма 2 [3]. Для всякого открытого множества V С М, содержащего замыкание
траектории точки q, можно так выбрать окрестности U0,..., ?/jv_i С
С V, чтобы граф пересечений рис 33
совпал с графом на рис. 33. и '
Ясно, что N зависит от выбора окрестности V и растет с ее уменьшением.
Введем пространство QN бесконечных последовательностей из N символов
0,1,..., JV - 1. Пусть Q(N) С QN состоит из "допустимых"
последовательностей {о;"} (последовательность допустима, если на соседних
местах стоят такие пары символов, которым отвечает ребро в графе
пересечений (см. рис. 33)). Снабдим Q(N) топологией бесконечного
произведения топологических пространств (ср. с п. 1). Пусть Т -
гомеоморфизм H(1V), сдвигающий последовательность ш = {сс'п} на один
символ влево.
Теорема 2 (В. М. Алексеев [3]). Пусть Uo,. ¦. ,Un-i -
!Х>
окрестности из леммы 1, U = Uo U ... U Un-i и A = П S"(U)^
71= - tX)
наибольшее инвариантное подмножество U. Тогда найдется такой гомеоморфизм
f: А -> Q(N), что коммутативна диаграмма
А А
Q(N) Q(N)
Обсудим некоторые следствия теоремы 2. Как и в п. 1, доказывается, что S
действует на А транзитивно (имеются траектории, всюду плотно заполняющие
А) и что периодические точки плотны в А.
Каждая траектория {5п(т)| (х € А) взаимно однозначно кодируется
последовательностью ш = {a>n} € Г2(ЛГ). Как же устроена эта
последовательность? Ясно, что в ней всегда имеются нули, и после каждого
нуля может стоять либо нуль, либо единица, причем последняя всегда служит
началом блока a = (1,2,..., N -1,0).
306
§ 8. Символическая динамика
Таким образом, и состоит из нулей, между которыми вкраплены блоки а. При
этом не исключено, что блоки а (в конечном или бесконечном числе) идут
подряд.
Пусть s - целое число, 2 ^ N + 1, и k = N + s - 2. Введем
подмножество Qs С C(N), инвариантное относительно Тк (сдвига на к
символов влево) и состоящее из последовательностей {соп}, у которых о"о =
0. Ввиду инвариантности, на всех местах, номер которых делится на к, тоже
должны стоять нули: о;т*. = 0 (т 6 Z). Поэтому, чтобы описать точки ш
достаточно выяснить, какие блоки из к - 1 символов могут встретиться
между двумя нулями. Из рис. 33 с учетом неравенства s < N + 2 видно, что
таковыми могут быть только следующие s блоков:
