Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
множестве значений ? является вполне интегрируемой и одновременно при
значениях ?, принадлежащих другому всюду плотному множеству, не допускает
даже непостоянных непрерывных интегралов.
§ 6. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических
решений
1. Рассмотрим снова уравнения Гамильтона
х = Н'у, у= ~Н'х\ ((r), У) = z ? (r)2 ,
с аналитическим гамильтонианом Hq(z) + ?H\{z,t) + о(е), 27г-пе-
риодическим по t. Предположим, что невозмущенная система с функцией
Гамильтона Но удовлетворяет следующим двум условиям:
(i) точка z = 0 - невырожденная критическая точка функции Но индекса 1
(седловая точка);
293
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
(И) имеется ограниченная связная компонента а множества {z : Ho(z) = 0} \
{z : dHo{z) - 0}, замыкание которой есть ст U {0}.
Таким образом, точка z = 0-неустойчивое равновесие невозмущенной системы,
а кривая а - ее гомоклинная траектория (петля сепаратрисы).
Пусть д€ -отображение за период t = 2тт возмущенной системы. Точка ? € R2
- периодическая точка дЕ периода m 6 N, если д"Х - = ?. Периодические
точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для
периодических решений гамильтоновой системы. Если m - период точки ?, то
2ттт - период решения t -> z(t, ?), -г(0,?) = (. Периодическая точка (
называется невырожденной, если собственные значения отображения z -> g(tm)z,
линеаризованного в окрестности точки отличны от единицы. Ясно, что
некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо
из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения
до-
Введем функцию 7(A) = J'^X{H0, H1}(za{t + A),t)dt, где t-> -> za(t)-одно
из гомоклинных решений, отвечающее сепаратрисе а. Поскольку среднее по
периоду функции I равно нулю, то I должна где-то обращаться в нуль.
Теорема 1 [94]. Предположим, что функция I имеет простой нуль А0. Тогда
существует бесконечное число таких аналитических функций ?п : (-?",?") ->
R2, sn > 0, что
1) (n(s) -периодическая точка отображения дЕ при всех е, -еп < <?<?",
невырожденная при ? ф 0;
2) Я0(Сп(0)) < 0 и расстояния от точек ("(0) до za(А0) 6 о стремятся к
нулю при п -> оо.
В общем случае последовательность ?" сходится к нулю. Поэтому при
достаточно малых значениях е ф 0 теорема гарантирует существование
большого, но конечного числа различных невырожденных долгопериодических
решений возмущенной гамильтоновой системы.
Заключение теоремы 1 полезно сравнить с результатом о рождении
бесконечного числа различных семейств долгопериодических решений в задаче
о вынужденных колебаниях маятника, рассмотренной в п. 6 § 11 гл. IV.
Доказательство теоремы 1 основано на применении метода малого параметра
Пуанкаре. Для этого перейдем от переменных х, у к симплектическим
переменным действие - угол J, ф mod 2тг невозмущенной-интегрируемой
системы в области R2, определенной неравенствами -с < Ho(z) < 0, где с -
малая положительная постоянная. Напомним, что J = ^ JJHg<h dxdy. Функция
h -* J(h) монотонная; обратную функцию обозначим Fq(J). В
294
§ 6. Расщепление сепаратрис и рождение решений
новых переменных Н - Fo(J) + eFi(J,ip,t) + о(е), где Ho(z) = = Fo(J),
H\{z,t) = Fi(J,ip,t). Функция Гамильтона, разумеется,
dF
27г-периодична по ф и t. Пусть са( J) = -=------частота колебаний
dJ
в невозмущенной системе. Легко понять, что u(J) -> 0, если линия уровня
H0(z) -> F'0(J) неограниченно приближается к петле сепаратрисы а.
Следовательно, существует бесконечно много различных значений Jn, для
которых co(Jn) - 1/п. Утверждается, что именно на инвариантных кривых J =
Jn при малых значениях е происходит рождение невырожденных периодических
точек (п(е) отображения дЕ, о которых говорится в теореме. Чтобы в этом
убедиться, надо проверить выполнение условий неавтономного варианта
теоремы Пуанкаре (см. § 11 гл. IV):
а) ^ °;
б) 27г-периодическая функция fn{А) = f(tm)n Fi (Jn, (t + X)/n,t) dt имеет
невырожденную критическую точку Ап.
Покажем, что d?Fo/dJ2 < 0 при J - Jn с достаточно большим значением п.
Для этого воспользуемся асимптотическим представлением функции h -> J(h):
J= -Miln(-h) + ..., (6.1)
где положительная постоянная Л определяется равенством (5.1), а
многоточие означает степенной ряд, сходящийся при малых значениях h.
Считая h функцией от J, продифференцируем тождество (6.1):
1 + Л/Г(1п(-/г)+ ...) = 0. (6.2)
Отсюда вытекает, что при значениях J, близких к J(0) (^(0) - величина
площади, заключенной внутри сепаратрисы а), частота о;(J) = h1
отрицательна. Дифференцируя еще раз тождество (6.2), получаем
hh"(ln{-h) + ...) + h,2( 1 + ...) = 0. (6.3)
Второе многоточие обозначает ряд без свободного члена по степеням h.
Из (6..3) заключаем, что при J, близких к J(0), вторая
производная h" отрицательна, что и требовалось доказать.
Проанализируем теперь условие б). Сначала заметим, что критические точки
функции fn совпадают с нулями функции
/7Г П
{Но, Hi}(zn(t + A), t) dt,
¦хп
295
