Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
вопрос о судьбе возмущенных сепаратрис в окрестности точек с, (е). Ниже
излагаются результаты С. А. Довбыша о взаимном расположении сепаратрис Г"
и Г2 в окрестности точки z2(e).
Рис. 27
Рис. 28
288
§ 5. Бифуркации сепаратрис
Введем некоторые обозначения. Пусть t -> z?^(t)-двоякоасимптотическое
решение невозмущенной задачи, для которого
lim z?^(i) = zi, limz^(i) = z2. Через z?\-) обозначим другое
t~*-00 t-> IX)
двоякоасимптотическое решение, связывающее z2 и Z;j. Положим
/ОО
{#о, #i}(4a)(? - p),t)dt, s = 1,2.
•IX)
Функции Ia встречались при анализе расщепления сепаратрис Г' и Г" в § 1.
Отметим, что они аналитические и 27т-периодические. Для случая
гомоклинных движений их средние по периоду равны нулю. Однако в
рассматриваемой ситуации это вовсе не обязательно. Необходимым условием
непересечения возмущенных сепаратрис Г( и Г*/ является отсутствие перемен
знака у функции Это условие предполагается выполненным. Более точно:
будем считать, что 1\ ^ 0 и /2 ^ 0. В этом случае картина расположения
расщепленных сепаратрис именно та, что изображена на рис. 28 при малых
положительных значениях е. При г = 0 в окрестности точки z2 можно
выполнить такое каноническое преобразование Биркгофа х, у -> ?, Г7, что
(в новых переменных) Н0(х, у) - Fo((), ( = ?77, и
^г(0) = Л>0. (5.1)
Число Л - положительное собственное число невозмущенной линеаризованной
системы - будет фигурировать в дальнейших рассмотрениях.
Теорема 1 [49]. Возмущенные сепаратрисы Г" и Г"2 не совпадают при малых
значениях параметра е > 0, если выполнено хотя бы одно из следующих
условий:
. dlnli(tp) d ln(-/2(<z>))
1) ----:---- ^ Л либо --------------;------------ ^ -Л при
НвКОТОрОМ р;
dtp dtp
2) области изменения функций 1\ и -/2 не совпадают;
3) одна из функций (Д или /2) является однозначной на комплексной
плоскости, а другая не сводится к тождественной постоянной и имеет на
своей римановой поверхности нуль или полюс;
4) Л ф 0 и хотя бы одна из функций (Д или /2) не постоянна.
Условие 1) заведомо выполнено, если при некотором р одна из функций 1\
или /2 обращается в нуль. Аналогично, условие 3) выполнено, если 1\ и /2
-тригонометрические полиномы от р и хотя бы один из них не сводится к
постоянной. Теорема 1 доказывается с помощью равномерного варианта
теоремы Мозера о сходимости нормализующего преобразования Биркгофа в
окрестности ги-
10 Козлов В. В.
289
Глава V. Расщепление асимптотических поверхностей
перболической точки [217] и с помощью техники, примененной в работе [62].
2. Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о
вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом
однородном поле силы тяжести. Малым параметром г здесь служит
произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса.
Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к
гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще
положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод
Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к
гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой
переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали
можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис
невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид,
изображенный на рис. 29 (точки z\ и Zi совпадают, так как фазовым
пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью
этой задачи является совпадение характеристических чисел для
гиперболических положений равновесия z\ и z2. Выделим сепатрисы Ti, Гг и
Г3, как показано на рис. 29.
Рис. 29
Расщепление сепаратрис в рассматриваемой задаче при малых значениях е ф 0
обсуждалось в п. 3 § 3. Было показано, что лишь при некоторых значениях
параметров расщепленные сепаратрисы пересекаются. Тем не менее,
справедливо
Предложение Г). При всех значениях параметров, кроме удовлетворяющих
условию Гесса - Аппельрота (3.6), при малых ? 0 для каждого
возмущенного неустойчивого реше-
ния существуют по меньшей мере по два двоякоасимптотических (гомоклинных)
решения z\{s) и z2(?). В случае Гесса - Аппельрота таких решений нет.
Доказательство этого утверждения основано на простых соображениях,
связанных с применением теоремы Мозера об инвариантных кривых и факта
сохранения площади при отображении за пе-
*) Это утверждение - устное сообщение С. Л. Зиглина.
290
§ 5. Бифуркации сепаратрис
риод. Рассуждения такого рода впервые использовал Пуанкаре для
доказательства существования гомоклинных решений при расщеплении петли
сепаратрисы (см. п. 2 § 2). Различные случаи взаимного расположения
возмущенных сепаратрис приведены на рис. 30; случай с) невозможен.
а) б) с)
Рис. 30
, Оставалось неясным, могут ли какие-либо из указанных гомоклинных
траекторий лежать на сдвоенных сепаратрисах. Ответ на этот вопрос дает
теорема 1: интегралы /Дуз), вычисленные вдоль двоякоасимптотических
