Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
"расплывание". Так, если в начальный момент состояние системы
изображалось прямоугольником ABCD (рис. 158), то через время t, он
перейдет в параллелограмм А!В'СD' (AD = A'D'), причем расстояние по
оси х между точками А' и С" равно Ах = Ахр + Со временем этот
параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины.
11.24]
§11. Канонические преобразования
301
б)
Рис. 159
б) Если в точке х = L расположена стенка, то выделенный фазовый объем уже
не будет параллелограммом А'В'C'D1, а будет иметь вид, изображенный на
рис. 159, а. С течением времени первоначальный фазовый объем ABCD
превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые почти
равномерно распределятся внутри двух прямоугольников 0 ^ х ^ L, Ро ^ Р ^
Ро + Ар0 и 0 < I < L, -р0 - Ар0 ^ р ^ -р0 (рис. 159,6).
в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией Е и частотой ш - "2
эллипс ^ - = 1 с полуосями а
2 Е
,Ь
-. Все точки выделен-
а о у тш
ного фазового объема движутся по таким эллипсам и через период Т = Щ-
возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенного "объема" по
координатам Ах и импульсам Ар пульсируют с частотой 2и>. В отличие от
предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазового
объема по всей доступной области фазового пространства,
г) Для осциллятора с трением (сила трения .Fxp = -2rri\x)
х = ae~Xt cos (pat + ip), p = mx = -mae~xt[iu sin(a;? + p) + Л cos {uit +
p)\,
и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет
собой спираль
(Р
^2 /р + со\х\2 = 2xt 2 + \ таи) )
а
Выделенный фазовый объем с течением времени уменьшается до нуля.
302 Ответы и решения [11.24
Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является
канонической - для полного ее описания необходимо задавать не только
функцию Лагранжа L = у (±2 - ш^х2), но и диссипативную функцию
F = ^т\х2 (см. [1], §25).
Если же для данной системы выбрать "функцию Лагранжа" в виде
L' = ^e2At (х2-ш2х2)
(ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных х
дЬ'
и р' = -- выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом ох
случае обобщенный импульс р' = mxe2Xt не имеет, как прежде, простого
физического смысла.
д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии,
выделенная область фазового пространства с течением времени
растягивается, "заполняя" всю доступную область фазового пространства
(ср. с пунктом б)).
Пусть вначале выделена область Хо < х < Хо + Ах, ро < р < ро + Ар.
Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают на
одно колебание больше (или меньше), чем самые медленные:
Т2 дт йТдр д р РоАр
т~- АТ--АЕ, АЕ~ -
dU(x о)
dx
Ах.
е) Пусть имеется N частиц таких, что точки фазового пространства,
изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью
Nw(xо, ро, 0) и перемещаются согласно уравнениям
х = f(x0,p0,t), р = р(х0, ро, t).
Здесь
для свободного движения и
f(xo,Po,t)=Xo + ^t, (р(х0, Ро, t) =ро
11.24]
§11. Канонические преобразования
303
для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной
области фазового пространства, все точки которой движутся по такому же
закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового
объема dx dp имеем
Nw(x, р, t) dxdp = Nw(xq, ро, 0) dx о фоле Лиуг 1, поэтому
Согласно теореме Лиувилля (см. [1], §46)
д(х,р)
д{хо,Ро)
w(x, р, t) = w(x0, Ро, 0)- (2)
Выражая из (1) хо и ро Хо = f(x, р, -t), Ро = р{х, р, -t) и подставляя в
(2), получаем
или
w(x, р, t)
Рис. 160
w(x, р, t) = w(f(x, р, -t), ip(x, р, -t), 0),
ехр[-а(х - X)2 - [3(х - Х){р - Р) - j(p - Р)2] 27гДр0Д?о '
где X = f(X0, Ро, t), Р = р{Х0, Р0, t), а коэффициенты а, [3, у для
свободных частиц
а =
1
2Axq '
t
тАхо
7 =
1
2 Ар2
и для осцилляторов
_ cos2 cot а~ 2Ах2
13 =
COS2 iot
2 Ар2
2 т2Ахц 1
т2ш2 sin2 uit 2 Ар2 '
_ sin2 uit 2m2 J1 Ах\ '
, ,( mu)
7 = sin lot, cos iot --------------------- -
' V A v2
V Apy mu Ax2 '
304
Ответы и решения
[11.24
На рис. 160, 161 показано, как перемещаются области фазового простран-
ляторов соответственно). Эти области представляют собой эллипсы,
деформирующиеся со временем1. Центры их перемешаются по такому же закону
(1), как и частицы. В случае свободного движения этот эллипс
неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов - лишь
пульсирует. Заметим, что распределения по координатам и по импульсам уже
не являются независимыми (w(x, р, t) не разбивается на два множителя вида
Wi(x, t)w2(p, t)).
Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам
(независимо от значений импульса)
Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в X и Р
'Если масштабы по осям р и х в фазовом пространстве гармонических
осцилляторов выбраны так, что moj = 1, то фазовые траектории представляют
собой окружности, а выделенная область в фазовом пространстве вращается
вокруг начала координат, не деформируясь.
ства, в которых 2тгАхоАро w(x, р, t) ^ ^ (для свободных частиц и осцил-
