Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
z = h-^)gt2, у = }-gt3Q, cos х = 2fti2Q2 sin Л cos Л. Z о
Подставляя время падения t = \/'2h/д, найдем отклонения к востоку и югу
9.22. Воспользуемся системой отсчета, вращающейся вместе с сосудом; ось х
направим вдоль АВ, начало координат поместим в неподвижной точке -
пересечении осей АВ и CD. Угловая скорость системы ?1 = и> \ - +и>2 =
(u>2, LOicos^t, -LO\ sinw2i) • На каждую частицу жидкости массы то в этой
системе отсчета наряду с силой тяжести тд действуют силы инерции (см.
[1], § 39): сила Кориолиса 2m[vf2], центробежная сила и
UY ?
сила т[гГ2], где Г2 - скорость изменения вектора Г2 в неподвижной системе
При затвердевании смолы скорости частиц (относительно сосуда) обращаются
в нуль и сила Кориолиса исчезает. Остальные три слагаемые нужно усреднить
по периодам вращения:
(mg) = - mg ((cos и> it), (sinwii sinw2i), (sinwii cosa;2t)) = 0, если
cji ф w2,
Поверхность жидкости расположится по линии уровня U(г) = const. Смола
затвердеет в форме эллипсоида вращения.
Что изменится в этом результате при и>\ = щ2?
При д = 0 и 1Х>2 -> 0 из (1) получается, очевидно, неправильное решение.
Почему?
отсчета.
(m[rfi]) = m[r(fi)], (fi) = ([u>iu>2]) = [(wi)w2] = 0.
Наконец,
где
9.24] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы
отсчета 277
где Е - энергия, М - момент импульса во вращающейся системе отсчета,
^эфф = U (г) Н-Напомним, что Е = Eq - МО., М = Mq, где Eq и
2 тг
Mq - энергия и момент импульса в инерциальной системе.
Интересно, что центробежная потенциальная энергия -шИ2г2/2 не
ВХОДИТ В U3фф.
9.24. В системе координат, связанной с рамкой, функция Лагранжа данной
задачи совпадает с рассмотренной в задаче 6.36 (при z = 0 и с параметрами
loyg = -20, u>i'2 = щ (^i,2 + ~J~^ - ^2)- При 2 > 0 движение частицы
совпадает с движением анизотропного осциллятора в магнитном поле Ж = -
2шсО/е. Траектория частицы для случая lo\ = cl>2 изображена на рис. 97 к
задаче 2.32. В частности, если to\ = и>2 = 0, движение частицы совпадает
с движением свободной частицы в магнитном поле х = = хо + a cos и> jgt, у
= уо - a sin co^t, т. е. частица равномерно движется по окружности
радиуса а с центром в точке (х(). у0). Интересно разобраться, какому
движению частиц в неподвижной системе координат соответствует последний
случай, в частности при а = 0 или при xq = уо = 0.
Если центробежная сила превысит силы возвращающие, действующие со стороны
обеих пружинок, lo\ 2 < 0, то частица по-прежнему совершает малые
колебания. Хотя потенциальная энергия имеет при х = у = 0 максимум,
устойчивость этого положения равновесия обеспечивается силой Кориолиса.
Если же lo\ и и>2 имеют разные знаки (т. е. х = у = 0 - седловая точка
для потенциальной энергии), то это положение равновесия неустойчиво.
Интересно сопоставить эти результаты с ответом задачи 5.4. В системе
отсчета, вращающейся с угловой скоростью И, точка Го, <ро лежит на гребне
тт (У mfl2r2
"потенциального цирка"; потенциальная энергия и = -- - име-
г 2
ет максимум относительно смещения в направлении радиуса-вектора и не
изменяется при смещении в азимутальном направлении. В этом случае одно из
нормальных колебаний происходит с частотой ю, частота же другого
9.23.
(1)
278 Ответы и решения [9.25
обращается в нуль: положение равновесия безразлично относительно
некоторых возмущений (например, изменения ро).
9.25. Функция Лагранжа
L = ^(v + [u>r])2 + mgr =
= у [о* - иу)2 + (у + их)2 +z2-g^ + .
Для малых колебаний можно опустить z, тогда уравнения движения
х - 2 иу + (J^ - u2^jx = О, у + 2их + = 0.
Ищем решение в виде
х = Aemt, у = Bemt и для Q,2 получаем уравнение
si4-(i + f + 2"2)si2 + (i-"'2)(f-"a)=a
Легко убедиться, что корни его действительны. Однако при
мм<"
один из корней О2 < 0, так что соответствующее движение
х = А1е^г + А2е-^г, у = Biel0l|t + B2e_|0l|t
приводит к уходу частицы от начала координат. Это и означает, что нижнее
положение частицы неустойчиво. Считая для определенности а > Ъ, получаем
область неустойчивости
9.26] § 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 279
Обратим внимание на то, что при и)2 > g/Ъ движение устойчиво, хотя
потенциальная энергия во вращающейся системе отсчета
тт mli 9\ 2 ml 2 9\ 2
U=-^{UJ ~а)х -~Ь)У
представляет не потенциальную яму, а потенциальный горб. Устойчивость в
этом случае обеспечивается действием сил Кориолиса.
9.26. а) Потенциальная энергия (включая центробежную)
ТТ/ т 1 / \2 т^2Х2
U(x) = k(x - a)-------^-•
Условие U'(xо) = 0 определяет положение равновесия
2 ка
х0
2 к - ту2
Интересно, что при частоте вращения у, большей частоты собственных
колебаний частицы у^2к/т, оказывается xq < 0, а при my2 ;§> 2к положение
равновесия близко к оси вращения.
Знак U"{xо) = 2к - ту2 определяет устойчивость положения равновесия: при
ту2 < 2к равновесие устойчиво; при ту2 >2к - неустойчиво.
б) Очевидно, положение равновесия такое же, как в пункте а). Для
исследования устойчивости рассмотрим потенциальную энергию при малых
